作者LuisSantos ( )
看板trans_math
標題Re: [積分] 問一題積分 好像很簡單 可是我不會
時間Mon Jun 2 13:36:50 2008
※ 引述《NAOHIRO (naohiro)》之銘言：
: 題目是
: 4 2
: ∫sin tcos t dt = ?
: 對板上很多高手來說應該很基本吧
: 可是我就想不出來
: 請幫個忙吧
: 謝謝
4 2
∫(sin t)(cos t) dt
2 2 1 + cos2t
= ∫(sin t) (-----------) dt
2
1 - cos2t 2 1 + cos2t
= ∫(-----------) (-----------) dt
2 2
1 2
= (---)(∫(1 - cos2t) (1 + cos2t) dt)
8
1 2
= (---)(∫(1 - 2cos2t + (cos2t) )(1 + cos2t) dt
8
1 1 + cos4t
= (---)(∫(1 - 2cos2t + -----------)(1 + cos2t) dt
8 2
1 3 cos4t
= (---)(∫(--- - 2cos2t + -------)(1 + cos2t) dt)
8 2 2
1 3 cos2t 2 (cos4t)(cos2t)
= (---)(∫--- - ----- - (2)(cos2t) + -------------- dt)
8 2 2 2
1 3 cos2t 1 + cos4t cos6t + cos2t
= (---)(∫--- - ----- - (2)(---------) + ------------- dt)
8 2 2 2 4
1 3 cos2t cos6t + cos2t
= (---)(∫--- - ----- - 1 - cos4t + ------------- dt)
8 2 2 4
1 1 cos2t cos6t
= (---)(∫--- - ----- - cos4t + ----- dt)
8 2 4 4
1 t sin2t sin4t sin6t
= (---)(--- - ----- - ----- + -----) + c
8 2 8 4 24
t sin2t sin4t sin6t
= ---- - ----- - ----- + ----- + c
16 64 32 192
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