作者LuisSantos (希望我備上政大應數所)
看板trans_math
標題Re: [積分] 積分ㄧ題
時間Tue May 13 18:01:43 2008
※ 引述《fly81713 (JOHNSON)》之銘言：
: S 1/(1+x^3) dx
: 請教這題積分該如何積呢?
: 或給個方向或提示吧!
: 謝謝
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
1 A Bx + C
令 --------- = ------- + -------------
x^3 + 1 x + 1 x^2 - x + 1
1 = (A)(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)
= (A + B)(x^2) + (-A + B + C)(x) + (A + C)
A + B = 0 ------(1)
-A + B + C = 0 ------(2)
A + C = 1 ------(3)
(1) => B = -A 代入(2)得
-A - A + C = 0 => C = 2A 代入(3)得
1
A + 2A = 1 => 3A = 1 => A = ---
3
-1 2
=> B = -A = ---- , C = 2A = ---
3 3
1 1 1 1 -x + 2
--------- = (---)(-------) + (---)(-------------)
x^3 + 1 3 x + 1 3 x^2 - x + 1
1 1 1 1 -x + 2
∫--------- dx = (---)(∫------- dx) + (---)(∫------------- dx)
x^3 + 1 3 x + 1 3 x^2 - x + 1
1 1 1 (-1/2)(2x - 1) + (3/2)
= (---)(∫------- dx) + (---)(∫------------------------ dx)
3 x + 1 3 x^2 - x + 1
1 1 1 2x - 1
= (---)(∫----- dx) - (---)(∫----------- dx)
3 x + 1 6 x^2 - x + 1
1 1
+ (---)(∫----------- dx)
2 x^2 - x + 1
1 1
= (---)(ln|x + 1|) - (---)(ln|x^2 - x + 1|)
3 6
1 1
+ (---)(∫--------------------- dx)
2 (x - 1/2)^2 + (3/4)
1 1
= (---)(ln|x + 1|) - (---)(ln(x^2 - x + 1))
3 6
1 2 -1 2 1
+ (---)(-----)(tan ((-----)(x - ---))) + c
2 √3 √3 2
1 1
= (---)(ln|x+1|) - (---)(ln(x^2 - x + 1))
3 6
1 -1 2x - 1
+ (-----)(tan (--------)) + c
√3 √3
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.119.29.32