作者Elfiend (小孩)
看板trans_math
標題Re: [極限]麻煩各位了！
時間Sat Apr 30 16:31:54 2005
※ 引述《faricy (可怕的積分阿>"<)》之銘言：
: 求下列極限之值：lim [sec^3(2x)]^[cot^2(3x)]
: x->0
: 麻煩了，謝謝！
∞ ∞
此題為1 非標準不定型，遇到 1 (sol1)可以很快算出答案,不過不是正規解法只
能用在選擇題。
========================以上Copy自iamhibo的re：{極限}一題===================
G(x) [F(x)-1]*G(x)
(解法1):考在選擇題時用《公式：lim F(x) = lim e 》
x->a x->a
lim [sec^3(2x)]^[cot^2(3x)] = lim exp[sec^3(2x)-1]*[cot^2(3x)]
x->0 x->0
= lim exp[sec^3(2x)-1 / tan^2(3x)]
x->0
= lim exp[sec^3(2x)tan(2x) / tan(3x)sec^2(3x)]
x->0
= lim exp[2sec^5(2x)+6sec^3(2x)tan^2(2x) / 3sec^4(3x)+6sec^2(3x)tan^2(3x)]
x->0
2/3
= lim exp[(2+6*0) / (3+6*0)] = e
x->0
G(x) G(x)*lnF(x)
解法2：F(x) == e
lim [sec^3(2x)]^[cot^2(3x)] = lim exp{ln[sec^3(2x)]*[cot^2(3x)}
x->0 x->0
= lim exp{ln[sec^3(2x)] / tan^2(3x)}
x->0
= lim exp{6sec^3(2x)tan(2x) / sec^3(2x)}/6tan(3x)sec^2(3x)
x->0
= lim exp{tan(2x) / tan(3x)sec^2(3x)}
x->0
= lim exp{2sec^2(2x) / 3sec^4(3x)+6sec^2(3x)tan^2(3x)}
x->0
2/3
= lim exp{2/(3+6*0)} = e
方法3？？？
lim [sec^3(2x)]^[cot^2(3x)] = lim [sec(2x)+sec(2x)tan^2(2x)]^1/tan^2(3x)
x->0 x->0
= [1+0]的無限大次方
○
所以應可配合e的定義，配出 lim [1+h]^(1/h) * ○ = e
x->0
所以令○/tan^2(2x)sec(2x)=1/tan^2(3x)
在x->0的情況下，cos3x，cos2x -> 1 sin2x/2x = 1 = sin3x/3x
所以得到○=4/9
原式= lim [sec(2x) + sec(2x) * tan^2(2x) ] ^ 1/sec(2x)tan^2(2x)*{4/9}
x->0
= [ 1 + h ] ^ (1/h) * (4/9)
4/9
= e
為什麼答案跟法一法二不同？？？ 請問哪裡不對？？
※ 編輯: Elfiend 來自: 220.138.221.21 (04/30 20:34)