響應版主大大建立考古答案查訊系統的計畫 雖然放榜後有點失意,不過還是把自己寫的答案拿出來給大家參考參考好了 恩...答案可能不一定是正確的...有可能會有計算上的失誤之類的... (而且我只考了57分...>"<...) 所以不對之處還請大家多多修正^^ (1) 把f微兩次 得到 x^(k-2) k^2 sin(1/x)- x^(k-2) k sin(1/x)- 2 x^(k-3) k cos(1/x)- x^(k-4) sin(1/x) + 2 x^(k-3)cos(1/x) 所以 k > 4 (2) (a) 兩線交點是 (0.0) 和 (0.2Pi) 所以 假設 曲線向量 C = (x(t) , y(t)) = (t-sin(t) , 1-cos(t)) 切向量 C'(t) = dC(t)/dt =( 1-cos(t) , sin(t) ) x軸的方向向量(1,0) <C'(0) , (1,0)> = 0 且 <C'(2Pi) , (1,0)> = 0 所以垂直 (註解:<a,b>是內積) (b) A = S y dx = S (1-cos(t))^2 dt = 3 Pi [0,2Pi] (c) 殼層法 (2*Pi*r dr )* 高 V = S 2 Pi x y dx = 2 Pi S (t-sin(t))*(1-cos(t))^2 dt = 6 Pi^3 (3) (a) A= S f(t) ||ds|| [a,b] s=(x,y) => ds = (dx,dy) => ||ds||= ||(x',y')|| dt (b) 上下兩半對稱... 令 x=1/2 sin(t) x'=-1/2 sin(t) => => ||(x',y')|| = 1/2 y=1/2 + 1/2 cos(t) y'=1/2 cos t 所以 面積 = 2 * S sqrt(1-x^2-y^2) * 1/2 dt [0,2Pi] (上下對稱乘兩倍) = S sqrt(1/2-1/2cos(t)) dt (兩倍角公式) = S sin(t/2) dt = 1/2 [-cos(t/2)] t=0~2Pi =1/2 * -2 = -1 ㄟ...可是我記得我考試好像算出來是証的... 糟糕...算兩次兩次答案差正副號@@ (可是我懶的驗算了^^) (4) (a) sin(x) = Sum (-1)^(k+1) x^(2k-1)/(2k-1)! sin(x)/x = Sum (-1)^(k+1) x^(2k-2)/(2k-1)! (b) S sin(x)/x dx = 1 - 1/3! + 1/5! - 1/7! + ... [0,1] 因為 7!=5040 > 10^3 所以取到 1/7! 這項 積分值 ~ 1 - 1/3! + 1/5! - 1/7! (c) 基本上題目出錯了^^... (1/n < 1/(n+1) 基本上要証的東西就是矛盾的...因為他出反了^^) | S sin(x)/x dx | = S |sin(x)|/x dx 又 S | sin(x) | dx = 2 [nPi,(n+1)Pi] 因為x屬於[nPi,(n+1)Pi] 有 nPi < x < (n+1)Pi => 1/(n+1)Pi < 1/x < 1/nPi 同乘 |sin(x)| 然後積分 [nPi,(n+1)Pi] 得到 2/(n+1)Pi < an < 2/nPi an---->0 as n--->infinity (夾擠定理) (5) 基本上這題有很多種做法... (a) 法一: 因為他是無旋場...所以圍線可以變形為 x^2+y^2=a^2 for all a>0 用暇積分的做法...做完積分在取 a---->0 會得到2Pi 法二: 令 x=r cos(t) y=r sin(t) 對得到 積分 = S dt C 所以是2Pi (逆時針為2Pi 順-2Pi) (b) 0 (c)順時針 Pi 逆時針 -Pi [可以直接用initial和final的t值計算出來] (6) (a) 假設u為單位向量 f在(x_0,y_0)上u方向的方向導數 = < grad(f)(x_0,y_0) , u > 剛好也 = 向量 grad(f) 在u方向的投影 也就是 <grad(f)(x_0,y_0) , u > = ||grad(f)(x_0,y_0)|| cos(t) 當t=0時 最大 (b) 假設 a,b 屬於 C_k 則 f(b)-f(a) = < grad(f),b-a > k - k = 0 所以 < grad(f),b-a > = 0 => 垂直 (7) Taylor公式告訴我們 f(x+h,y+k) - f(x,y) = df(x,y) + d^2f(x_0,y_0) 其中 df(x,y) = < grad(f)(x,y) , (h,k) > d^2f(x_0,y_0) = (h d/dx + k d/dy)^2 f (x_0,y_0) 條件: (1) grad(f)(x,y)= (0,0) (2) d^2 f(x,y) > 0 證明: 因為極值發生在df=0點或是不連續點 只要df連續,就可以使用夾擠定理證明(1)成立 因為d^2f連續 所以有 d^2f(x,y)>0 <=> d^2f(x_0,y_0)>0 所以 f(x+h,y+k) - f(x,y) > 0 也就是在點(x,y)的附近(x+h,y+k) 取值 都會比那個點大 所以有極小值 (8) (a) f(a) = S a-x^2 dx + S x^2-a dx [0,根號a] [根號a,1] = 4/3 a^(3/2) - a + 1/3 可得到 f'(a)=2根號a-1=0 => a=1/2 (b) 用柱座標代換 得到 g(x,y) = x^2+y^2-a = g(r,t) = r^2 - a f(a)=SS g(x,y)dxdy=SS g(r,t) r drdt = 2Pi[1/2 a^2 - 1/2 a + 1/4 ] f'(a) = 2Pi[a-1/2] =0 => a=1/2 (9) (a) f(x) = S exp(-t^2) dt / exp(-x^2) 當x---->infinity 為 0/0 型 使用L'hospital lim f(x) = lim exp(-x^2)/-2x exp(-x^2) =lim 1/-2x = 0 (b) f'(x)=-1 + 2x exp(x^2) [S exp(-t^2) dt ] (c) f'=-1+S x exp(x^2-t^2) dt < -1 + S t exp(x^2-t^2) dt < 0 所以...f is decreasing (10) (a) u = sqrt(2) x - 1/2 x^2 v = y / [ sqrt(2) -x ] (b) 因為 | grad u | det | | = 1 | grad v | 所以 SS dxdy = SS dudv 請大家多多指教^^ --

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