※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言： : 你和心儀已久的正妹女生去登山，經過一個黑暗的隧道， : 忽然照明熄滅了，正妹害怕尖叫。 : 你趕緊有男子氣概地說：「別怕！我有準備手電筒！」 : 結果一拿出手電筒，卻發現電池沒電，正妹嘆一口氣。 : 你不慌不忙說：「別怕！我有準備備用電池！還準備了 : 四顆！」 : 慌忙拆開手電筒後，你手電筒裡那兩顆電池卻混入了你 : 備用的電池堆中。你趕緊整理一下，發現背包裡居然有 : 八顆電池，正妹又嘆一口氣。 : 你只得趕緊回想，你確定新買了四顆電池是好的，另外 : 兩顆是手電筒掉出的，還有兩顆....啊！是之前留下的 : 電池，大概也沒電了....想這麼多幹嘛於事無補。 : 你要測試電池是否好的，只有一個辦法，就是把電池裝 : 入手電筒內（一次要裝兩顆），開啟手電筒，只有兩顆 : 電池都是好的才能使手電筒亮。 : 然而在黑暗之中，把電池裝入手電筒、並打開是很耗時 : 的。你評估一下正妹的怒氣值..... : 你只能裝七次，裝電池（並打開手電筒）到第七次，都 : 沒成功，女生就會失去耐心地賞你一巴掌離去。 : 請問你要採取什麼策略？（想到七次就想看有沒有六次 : 解或證明無法更簡單） : 挑戰題：2N個電池、N個是好的，則你需要最少幾次？ 因為只有失敗與成功兩種結果 我們相當於是按照某一套固定的配對法試過一遍，甚至先後次序也沒差 （嘗試結果不會影響策略，因為成功之前一定全部都是失敗） 問題可抽象化成： 建構一個 2N 個頂點的圖，邊越少越好， 使得其 independent number α < N 頂點就代表電池 每條邊的頂點則是對應我們要拿去嘗試的電池配對 這樣的策略如果試不出來，代表可以找到 N 個頂點（好電池） 使其兩兩不相鄰，也就是 independent set 而 independent number α < N，就表示任取 N 個頂點必定會有其中兩者相鄰 這樣的話就比較好想了 例如 N = 4 時可以採用這樣的圖 △　△　─ 還可推廣到 △　△　─　─　…　─ 也就是 2N 顆電池，可以用 N+3 次挑出兩顆好的 因為要兩個三角形，所以 N = 2 時不成立 實際上也能發現 N = 2 時需要全試過一遍，也就是 6 次 證明為最佳： α 有下界 α≧(2v-e)/3，v 是頂點數，e 是邊數 由於 N 會大於能成功挑選的圖的 α，也就大於至少為 (4N-e)/3 的整數 便得到 e 至少要 N+3 了 至於該下界的證明，我自己試著造了一個： 採取貪婪法建造圖 G 的一個 independent set S(G) 每次挑選所剩的圖的頂點中 degree 最小一個 v，放進 S 中 並且刪除 v、其鄰邊、其鄰邊相連的頂點與這些頂點的鄰邊 令所剩的圖為 G'，根據對頂點個數的歸納法，我們假設其符合 |S(G')| ≧ ( 2 v(G') - e(G') )/3 令 deg v = d，有 v(G) - v(G') = d+1 (v 和其 d 個鄰居) 以及 e(G) - e(G') ≧ d+d(d-1)/2 (v 有 d 條鄰邊，v 的鄰居每個至少再添 d-1 條， 但這 d-1 條可能跟另一個鄰居重複) 綜上三式 |S(G)| = |S(G')| + 1 ≧ ( 2 v(G') - e(G') )/3 + 1 ≧ ( 2 (v(G)-d-1) - e(G) + d+d(d-1)/2 )/3 + 1 ＝ ( 2 v(G) - e(G) + (d^2 - 3d + 2)/2 )/3 ≧ ( 2 v(G) - e(G) )/3 歸納法過關 由於可以造出頂點數 ≧ ( 2 v(G) - e(G) )/3 的 independent set S(G) 故其上界 α(G) ≧ ( 2 v(G) - e(G) )/3 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.109.73.249 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/puzzle/M.1701373503.A.17C.html 一開始的想法： 兩兩分成四組 A, B, C, D A, B, C 各裝一次 [3 次] 若都不亮，則 Case 1: 四組都恰含一顆好的電池 Case 2: A, B, C 其中一組全壞，其他兩組都恰含一顆好的電池，D 全是好的 接著拿 A 中兩顆去跟 D 的其中一顆一一配對 [2 次] 若都不亮 Case 1: D 選到的是壞的 Case 2: A 全是壞的 最後拿 B 中兩顆去跟 D 中另一顆一一配對 [2 次] B 中至少有一顆好的，D 的另一顆也一定是好的，所以會成功 其實就相當於本文中 △　△　─ 的解法 訂正個錯誤，沒考慮到邊可能重複算 ※ 編輯: arthurduh1 (140.109.73.249 臺灣), 12/06/2023 21:54:19