※ 引述《Ryow (哈扣)》之銘言： : : x + y + z = 1 : : x^2 + y^2 + z^2 = 2 : : x^3 + y^3 + z^3 = 3 : : 求 : : x^5 + y^5 + z^5 = ？ : : 延伸問題：x^n+y^n+z^n = ？ : : 提示：請別強行去解x,y,z，會少許多解題樂趣！ : 三個未知數 三個方程式 : 先求出它們的關係吧 : x+y+z=1 : xy+yz+zx=? : xyz=? : (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) : =>1=2+2(xy+yz+zx) : =>xy+yz+zx=-(1/2) : x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)[x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)] : =>3-3xyz=1[2+(1/2)] : =>xyz=1/6 : 不會化簡x^5+y^5+z^5 只好拜託估狗 找到了這個 : (x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(y+z)(x+y)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx) : 又x+y+z=1 : 所以 : (x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(1-x)(1-y)(1-z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx) : =5[1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz](x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx) : =>1-(x^5+y^5+z^5)=5[1-1-(1/2)-(1/6)][2-(1/2)] : =>x^5+y^5+z^5=6 : 順便算了一下x^4+y^4+z^4=25/6 : 可能還要多算幾項才能找到x^n+y^n+z^n的一般式吧 我放棄 O_Q 其實只差一點點 XD (x^n + y^n + z^n) * (x + y + z) = F(n) * F(1) = (x^{n+1} + y^{n+1} + z^{n+1}) + xy^n + xz^n + yx^n + yz^n + zx^n + zy^n = F(n+1) + xy(y^{n-1} + x^{n-1}) + yz(y^{n-1}+z^{n-1}) + xz(x^{n-1}+z^{n-1}) = F(n+1) + (xy + yz + xz)(x^{n-1} + y^{n-1} + z^{n-1}) - (xyz^{n-1} + xy^{n-1}z + x^{n-1}yz) = F(n+1) + (xy + yz + xz)F(n-1) - xyz F(n-2) 代入 xy+yz+zx = -1/2, xyz = 1/6, F(1) = 1 F(n) = F(n+1) - F(n-1)/2 - F(n-2)/6 整理一下： F(n+1) = F(n) + F(n-1)/2 + F(n-2)/6 --

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