作者arthurduh1 (arthurduh1)
看板puzzle
標題Re: [問題] 逃脫獅子的看守
時間Wed Mar 23 07:42:20 2016
1F：推 walkwall: 在中心半徑的1/4小圓邊界上繞到獅子反向 然後往岸邊衝 03/22 21:24
2F：→ walkwall: 圈以內角速度可超過獅子 衝刺時0.75*4=3 < 3.14<PI 03/22 21:27
3F：→ ddtddt: 走牆棒棒。 第二問，如何在最短時間內逃出。 03/22 21:38
4F：推 walkwall: 擺線? 03/22 21:41
5F：→ ddtddt: @走牆大，我沒有正解。 擺線如何證是最速解@@? 03/22 21:58
6F：推 walkwall: 呃...只是直覺 也有可能是擺線的變形 03/22 22:03
7F：→ walkwall: 當然也想過搞笑版最速解 : 搭直升機走 或者對獅子吹箭 03/22 22:04
8F：推 walkwall: 認真想過後 離開圓心與過臨界點後都應該是直線最快 03/22 23:47
離開圓心時應該不是直線
以下敘述嚴格說來仍有一堆漏洞，需要更進一步說明
我都有把它標註起來。
首先要說明一下這類題目的解其實都是極限行為
[不重要的漏洞]
因為兩對局方各自都要對對手的行為做反應，產生類似雞生蛋、蛋生雞的問題
(比獵人的心滴拳聽還要更厲害的獅子和人 :P)
假設湖半徑 1 (單位自取)
獅子初始位置為 (-1,0)
人的初始位置為(0,0)
我們可以做些假設
[漏洞]
(1) 獅子永遠以最高速繞著湖走，且是沿逆時針方向
(2) 人也是恆處於最高速
(3) 人到岸邊時剛好與獅子碰頭
假設碰頭的點為 P
那為何無法由圓心直接走直線到達 P 呢？
原因是獅子的存在
使得人只能在由獅子算起逆時針 180度 的範圍內移動 [by (1)]
令獅子在時間 t 時位於 ( -x(t), -y(y) )
注意線段 L_t: (0,0)─( x(t), (y(t) )
人的走法可能一開始會貼著這個動態的線段走
但由於 (3)
最後必定要離開此線段
(4) 且離開後必定不會再次碰到 L_t
[漏洞]
否則我們可以把走法用 一直接觸 L_t 的路徑取代
得到更有效率的方法
更進一步
[漏洞]
(5) 在離開 L_t 後，人必定直直朝 P 點，走直線前進
否則我們同樣可以把走法用直線取代
由 (4) 與 (5) 就可以列式求解了
基本上走法就是先走 等角速度且等速度的螺線
接著直直朝 P 點前進
P.S.
這種螺線的極座標公式在適當的單位下，會滿足
dr/dt = √(1- r^2 cos(2t) )
不過我用 Mathematica 解不出 explicit 解
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※ 編輯: arthurduh1 (140.112.230.45), 03/23/2016 07:54:45
9F：→ wxtab019: 只會逆時針 就一開始位置往右一點點 他就要繞一圈了阿 03/23 09:17
不懂往右是什麼意思
不過順逆時針的問題 我是做了不失一般性的假設 (鏡像對稱)
※ 編輯: arthurduh1 (140.112.230.45), 03/23/2016 10:33:47
10F：→ arthurduh1: I see. 因為我的圖座標化跟原圖不同 所以應該有 03/23 17:21
11F：→ arthurduh1: 回答到你的問題了 03/23 17:21
12F：推 walkwall: 恩恩 03/23 19:29