作者squirrel1085 (小鼠松弈)
看板puzzle
標題[問題] 大富翁機率問題
時間Sun Apr 15 23:27:22 2012
感覺這個題目應該不會太難,也應該有人有想過
不過我沒有找到正確答案與相關資訊,所以po上來請教眾強者
用程式解應該有辦法,但是這方面我不太行@@"
Q:從起點出發,每回合丟一正常六面骰子前進,直到走超過100格為止
請問此路程,恰好停留而非路過第100格的機率為何?
題目也可以想成那種傳統的,只有一圈沒有其他路的紙上大富翁
若一圈格數x=100格,我今天走到還是空地的A地買下它
下一次經過這區域時,能恰好走到A地蓋房子而非路過它的機率P(x)
我自己有稍微算過當x=6、7、8、9、10分別的機率,好像都不太一樣
但直覺告訴我當x很大的時候P(x)應該要收斂(?)
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◆ From: 140.114.12.82
1F：推 Favonia:Markov chain 是你的好朋友 04/15 23:48
2F：→ squirrel1085:謝謝樓上 馬上來試試看 04/16 00:30
3F：推 LPH66:話說這問題讓我想到 Project Euler #84... 04/16 00:34
4F：推 Zn1:別想太多 就六分之一 04/16 00:58
5F：推 LPH66:我這裡計算的結果很有趣... 04/16 01:11
6F：→ LPH66:設定終點在第 100 ~ 105 格的話 (第一次走進去這之中就停) 04/16 01:12
7F：→ LPH66:停在這六格的機率約是 6:5:4:3:2:1 04/16 01:12
8F：→ LPH66:也就是恰停在第 100 格的機率是 6/21 = 2/7... 04/16 01:12
9F：→ squirrel1085:我猜測機率介於0.25~0.4 但沒有想到會這麼漂亮 04/16 01:17
11F：→ jennya:跟LPH66的答案一樣 (2/7=0.28XXXX) 04/16 01:21
12F：→ jennya:因為基本上後面的公式都一樣 04/16 01:22
13F：→ squirrel1085:1~6可以表示為7^(x-1)/6^x是確定的 04/16 01:36
14F：→ squirrel1085:"太難算了XD"=(7^6-6^6)/6^7=70993/279936 04/16 01:44
15F：→ squirrel1085:感謝j大,我都沒想到用excel就好了!! 04/16 01:45
16F：推 LPH66:其實實際數字並不漂亮XD 不過的確是會收斂到 2/7 04/16 01:46
17F：→ squirrel1085:嗯本來就是要求收斂的值 這個結果出乎意料的簡潔 04/16 01:47
答案是漂亮的2/7也就是1/3.5,也就是1/每次期望前進格數
是個直觀而好記憶的結果
詳細可參考Feller-Erdos-Pollard renewal Theorem
※ 編輯: squirrel1085 來自: 140.114.12.82 (04/16 03:21)