第2題： : 二、兩人猜數（A知和，B知積，2 < = X < = 99） : 設有兩個自然數 m，n 且 2 <= m <= 99， ：S先生知道這兩數的和，P先生知道這兩數的積。 ^^^^^^^^ => s ^^^^^^^^ => p : 他們兩人進行了如下的對話── : S：「我知道你不知道這兩個數是什麼，但我也不知道。」 你不知道 => 存在 2 ≦ m1 ＜ m2 ≦ 99 , 使得 m1 | p 且 m2 | p 且 m1*m2 ≠ p 1.我知道你不知道 => q = a*b, 存在 2 ≦ m1 ＜ m2 ≦ 99 , 使得 m1 | q 且 m2 | q 且 m1*m2 ≠ q 對所有的 a + b = s, 2 <= a <= 99 2.我不知道 => s ≧ 4 綜合1,2： s = 5 7 9 10 11 13 15 16 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 57 59 65 67 71 77 79 83 87 89 93 95 97 ... : P：「現在我知道這兩個數了。」 ( p原本不知道，故p不是質數 ) p = m1*n1 = m2*n2 = m3*n3 = m4*n4 ... m1+n1 , m2+n2, m3+n3, m4+n4, ... 只有一個滿足前面的s 4 = 1*4 = 2*2 , 1+4 = 5, 2+2 = 4 O 6 = 1*6 = 2*3 , 1+6 = 7, 2+3 = 5 X 8 = 1*8 = 2*4 , 1+8 = 9, 2+4 = 6 O 9 = 1*9 = 3*3 , 1+9 = 10,3+3 = 6 O 10= 1*10= 2*5 ,1+10 = 11,2+5 = 7 X 12= 1*12= 2*6 = 3*4 ; 1+12 = 13, 2+6 = 12, 3+4 = 7 X . . . : S：「現在我也知道這兩個數了。」 s = a1 + b1 = a2+b2 = a3+b3 = ... 只有一個ai*bi滿足前面的p 5 = 1+4 = 2+3 , 1*4 = 4, 2*3 = 6 O 7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 , 1*6 = 6 , 2*5 = 10, 3*4 = 12 X . . . 至少 s = 5 , p = 4是一組解... : 由這些條件，試解出 m，n 為何？ 驗證看看： 5 = 1+4 = 2+3 => S不知道m,n是多少，而且 1*4 = 4 = 1*4 = 2*2 2*3 = 6 = 1*6 = 2*3 => 可以保證P也不知道m,n是多少 -------------- 現在P知道: S不知道且S知道P不知道 4 = 1*4 = 2*2 1+4 = 5 => 和S講的相符 2+2 = 4 = 1+3 = 2+2, 如果m=3,n=1的話，p=3，那P就知道m=3,n=1了，故不可能 => m = 4 , n = 1 P知道了 -------------- S知道：P知道了 5 = 1+4 = 2+3 猜p是多少： 4 = 1*4 = 2*2 2+2 = 4和我一開始說的我不知道矛盾 => m=4, n=1 6 = 1*6 = 2*3 1+6 = 7 = 2+5 = 3+4 滿足S一開始說的條件 2+3 = 5 P 沒辦法排除 m= 6, n = 1的可能，故p ≠ 6 S知道了！！ 還是一樣，不知道該怎麼證明這是唯一解~ --

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