答案的確是29個 <i>先證明31個(含)以上不可能 1^2+2^2+3^2+...+31^2 = 31*32*(31*2+1)/6=10416 > 10000 31個以上不可能，證明完畢 <ii> 證明30個不可能 1^2+2^2+3^2+...+30^2 = 9455 假設從1到30抽出一個數的平方，再加上1到30以外的一個數的平方，恰好等於10000 這樣還能維持在30個 假設1到30內的數為a，到30以外的一個數為b 9455-a^2+b^2=10000 b^2-a^2=545 (b-a)(b+a)=545 兩種可能 b+a=109，b-a=5，解出b=57，a=52(不合) b+a=545，b-a=1，b=223，a=222(不合) 無解 考慮假設從1到30抽出m個數的平方，再加上1到30以外的m個數的平方，恰好等於10000 這樣還能維持在30個 (b_1)^2+(b_2)^2+...+(b_m)^2-[(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_m)^2] = 545 [(b_1)^2-(a_1)^2]+[(b_2)^2-(a_2)^2]+...+[(b_m)^2-(a_m)^2] = 545 列出(b_n)^2-(a_n)^2的所有可能情況 where 1<=n<=m 差1: (31+30)(31-30) = 61*1 = 61 差2: (32+30)*(32-30) = 124 (31+29)*(31-29) = 120 差3: (33+30)*(33-30) = 189 (32+29)*(32-29) = 183 (31+28)*(31-28) = 177 (仿照上式，以下為求精簡，不列算式了) 差4:256, 248, 240, 232 差5: 325, 315, 305, 295, 285 差6: 396, 384, 372, 360, 348, 336 差7: 469, 455, 441, 427, 413, 399, 385 差8: 無 附註：51-61=484, 545-120 = 425，差8(含)以上的不用討論，必不合 這邊要做一點苦工，找出有沒有幾個數加起來好為545？ 找的方法不必每個都去加，譬如124就不可能和61相加，因為30重覆了 答案是無解... 雖然305+240=545 ，但305=33^2-28^2, 240 =32^2-28^2，28重覆了 而另一個組合 120+177+248 = 545，也因為31^2-29^2=120, 33^2-29^2=248，29重覆了 也無解 所以30個是不可能的 <iii> 證明29個有可能 9455+a^2-b^2-c^2=10000 a^2-b^2-c^2=545 這個解就好找多了 令c=2，則a^2-b^2=545+2^2=549 a+b = 61 a-b = 9 解得a=35, b=26 所求的其中一解為1, 3~25, 27~30, 35----#Ans 另一解，令c=12 則a^2-b^2=545+12^2=689=53*13 a+b = 53 a-b = 13 解得a=33, b=20 所求的另一解為1~11, 13~19, 21~30, 33----#Ans --

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