※ 引述《sindarin (官)》之銘言： : ※ 引述《susophist (窄宅)》之銘言： : 想跟著這個討論釐清一下自己也常常混淆的一些概念問題，還請各位不吝指正。 : : 把該「axiom scheme」(用拉丁文等)給符號化(symbolize)，以「個例化」出特定的 : : 「axiom」，如「(x)(y)[x=y → (x=x≡y=x)]」，再UI成「a=b → (a=a≡b=a)」，不正 : : 是個邏輯上清楚的推導麼。該「axiom scheme」亦能合邏輯推導規則地「自我證明」為 : : 「公理」，不是如此麼。 : 我想你好像不是很明白axiom和axiom scheme兩個概念的區別。 : 區分axiom和axiom scheme的功能主要是在於：有了axiom scheme， : 我們可以在證明的任意一個步驟中加入我們想要的合於此scheme的句子，以進行證明； : 換句話說，一個axiom scheme應該被當作所有合於此形式的句子(也就是axiom)的集合， : 這個集合內的所有語句都能被加進證明中， : 在axiom scheme出現以前，邏輯學家們做的事情乍看之下是差不多的， : 是將axiom內的propositional letter指定替換成另一個propositional letter， : 譬如說我現在想要用的句子是(P→Q)→(R→(P→Q))， : 但axiom的內容是P→(Q→P)，我就指定一個Substitution scheme， : （抱歉，有點不確定是不是叫做這個名字了）寫成： : P├ P→Q : Q├ R : 藉此可以得到我想要的(P→Q)→(R→(P→Q))。 : 當然你可以說這兩件事情是一樣的意思， 哪兩件事？ : 但不同公理化方式會有一些理論上的優劣不同， : 這個部份我不是非常清楚，還請各位補充。 : 無論如何，你要說的不是完全錯的， : 只是你應該要知道做出這個區分的目的何在。 請回到源頭，有人問臺大試題：證「a=b, therefore b=a」，所給的答案理當是純符號化 的推導過程，你的例子是非該題之純符號化由「axiom scheme」到「axiom」的一例，這些 都是清楚的推導或證明的一種，而「axiom scheme」是個「邏輯真」，理當也可以證明之 ；而不是只是說『某個句子如(2)是「axiom scheme」，那個句子是它的「axiom」』。 : : 這裡是邏輯的證明，引用維基百科，學術嚴謹度很可疑；除非，是在做社會學的資料統 : : 計，等等，較不數理式的論說，「維基」可能還有一些參考的價值。 : 我以為這個部分比較像是邏輯史的簡單考究，援引一些大家都方便查到的東西做參考； : 揪著資料來源質疑，並不能讓你所做出的證明更有說服力。我想這裡不必著墨太多。 一樣；有人問「a=b, therefore b=a」證明的試題解答，M君說他自己如維基百科，將其 「(1): (x)(x=x)」稱作「reflexivity」，然而，兩者事實上有別。 : : 我想，「I」既然是個邏輯推論的規則，就會像其他的邏輯推論規則(MP, DeM, CP, etc.) : : 一樣，能夠在其系統內「自我證明」，要不就是「後設地證明」；不太可能會有「不同 : : 的」詮釋的空間，因此，你說的「LL」與我說的「I」，應該是不完全相同的東西。 : 這裡的說明我也看得不是很懂， : 你的意思是說：LL有詮釋的空間，而你使用的I沒有；所以你使用的I與LL不同？ 文章大家來回數篇，有些東西「滑動了」；我的「LL」是「(x)(y)(F)[x=y ≡ (Fx≡Fy)] 」，M君的「LL」是「axiom scheme: (x)(y)[x=y → (Fx≡Fy), F是後設語言的符號」， 我的意思是，推論規則「I」與M君的「LL」作為「axiom scheme」，是不同的；不是在說 你說的「LL有詮釋的空間」。 : : 您的「(3):if a=b then a=a iff b=a」也就是「a=b → (a=a≡b=a)」，其中「a」與「b : : 」是指特定的東西(individual)，如此，您的(3)怎麼會是個「axiom」呢。 : 這裡的(3)是axiom，正是因為他是從scheme個例化而來； : 我可以同樣地帶入任何其他的individual，這個句子都還是axiom。 : 你的質疑仍然是源自於混淆axiom和axiom scheme。 如推論： 1(1) a=b A. 2(2) a=a A. 1,2(3) b=a (2), (1) I 1(4) a=a → b=a (2)-(3) CP 5(5) b=a A. 1,5(6) a=a (5), (1) I 1(7) b=a → a=a (5)-(6) CP 1(8) (a=a → b=a) & (b=a → a=a) (4), (7) Conj 1(9) a=a≡b=a (8) Equi (10) a=b → (a=a≡b=a) (1)-(9) CP (11) (x)(y)[x=y → (x=x≡y=x) (10)UG, a/x, b/y {}├ a=b → (a=a≡b=a) {}├ (x)(y)[x=y → (x=x≡y=x) 至此，我同意「(3):if a=b then a=a iff b=a」，可以是一個「axiom」，理由是：它是 「自我證明的」。但，沒給證明就說是個「axiom」，有疑慮。 : : 我不會說(5)是個「LL」，(5)只是個從LL「個例化(UI)」而來的句子之一。 : : 按照邏輯(語法/符號上的)規則，從(5)與(9)，依「前斷律(MP)」得，(10): b=a，沒錯 : : 吧；你說的「(Gb≡Ga)」只有在「同時有G或同時沒有G」時為真，但， : : 「b=a ≡ (Gb≡Ga)」整句要為真，「(Gb≡Ga)」不一定要為真、也可以為假， : : 這是「實質蘊涵」(materially imply)的意思、也就是「→」的真值表(truth table)； : : 更何況，我的(5)...(9)和(10)，是在(2)的歸謬法的假設之中，不論如何，只要有「矛 : : 盾句」，便可得與假設反面的結論「b=a」。要推得它們是同一個, 你必須要有 : : (G)(Gb≡Ga); 而不是 Gb≡Ga。請注意，我的「G」是「代入述詞全稱量詞(F)的G」， : : 「G」不是一個量詞(quantifier) : 大家都知道這裡的G不是一個量詞，問題在於： : 你對LL做了三次UI，而得到(5) b=a ≡(Gb≡Ga)， : 照正確的LL，應該是做兩次UI，而得到 b=a ≡ (G)(Ga≡Gb)， : 也就是說，你要有(G)(Ga≡Gb)這個句子，才能用MP得到a=b， : (for all G, Ga iff Gb) : 這個句子的意思顯然跟這個句子做UI以後差很多， : 一個是在說：對所有性質G，a具有G的性質，若且唯若b有G的性質； : 它做UI以後的結果變成是：a具有一個特定性質G若且唯若b也具有性質G : 從這一個句子推到a=b顯然是很奇怪的， : 這就像是說a跟b都在吃西瓜，所以他們是同一個東西， : 在推到a=b這一步的時候，你需要的是有全稱量限詞的那個句子， : 也就是不管a怎樣（吃西瓜、削鉛筆、打撞球），b也都是這樣， : 這才能讓我們得到a=b。 我不認為「(x)(y)[x=y ≡ (F)(Fx≡Fy)]」是「『正確的』LL」，所謂「正確的LL」與臺 大彭孟堯教授的「LL」不一樣，其他的理由與意見，有部份被你拿掉了，這裡看不到，例 如：LL與「正確的LL」可能等價，等等；有需要請回看。 : 另外也對推文提出一點疑問： : → susophist:我覺得你在吊書袋，邏輯就是每一步都很清楚，不需要「簡 12/22 06:13 : → susophist:化」、「是____的意思」，等等的說詞，只要按部就班，沒 12/22 06:14 : → susophist:學過的人也可以看得懂。 12/22 06:15 : → susophist:就像證「if a=b then b=a」一樣，證(2)是「axiom schema 12/22 06:18 : → susophist:」、證從(2)得到「Law of Identity」，沒能證明嗎。 12/22 06:19 : 我想，邏輯本身當然需要很多非形式的說明， : 很多定理的證明都包含大量非形式的部分，尤其在闡述某些特定作法的時候， : 因此，使用這些說明做為輔助並無不妥； : 這跟吊書袋好像沒有太大的關係， : 相較起來，我覺得言必稱某某老師更像是一種無謂的訴諸權威， : 當然，我想你或許沒有那個意思，但這個行為跟引經據典是相類似的， : 書袋或否，大可不必如此認真看待。 「很多定理的證明都包含大量非形式的部分」不同意這句，「證明」不就是純符號的推導 麼；還有，你的「非形式的說明」是什麼。證明就是證明、與給出試題的答案一樣，不是 要別人去看你指的資料，來作為「證明」，那不是「證明」；你跟我講的「吊書袋」，是 一樣的意思嗎。其他的意見，在你那篇的推文裡。 --

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