※ 引述《rexkimta (冷杉林)》之銘言： : ※ 引述《simonjen (狂)》之銘言： : : 令三種顏色為r b g : : 先觀察如果給一個r 一個b可以合成兩個g 在用兩個b去合成四個r : : 所以總計r少了三個 g沒有多沒有少 b多了三個 : 這裡反了吧？ : 是r多了三個b少了三個吧？ 恩恩 打字錯誤 抱歉 : : 也就是說經過這樣的設計對於所有的個數為3的倍數都可以完全的換掉成為另一個顏色 : : 又因為 2009 = 2 mod 3 : : 對於任意個數的三種不同顏色必然存在一種顏色是3的倍數 : : 所以用上述的設計方式可以把三種顏色變成只有兩種顏色 : : 若是這剩下的兩種顏色有一個顏色是三的倍數 : : 那麼馬上就可以得知有一個有限的方式可以把這兩個顏色變成一種顏色 : : 假若這兩種顏色都是3的倍數多1 那麼我們可以用以下的設計 : : 這兩個顏色必定有一個比較多一個比較少(因為2009是奇數)假定這兩個顏色個數各為m n : 這裡有問題，如果三種顏色分別是1003、1003、3個 : 就符合你的條件，可是前兩種顏色並沒有一個多一個少。 其實我的意思是說 要先變成兩種顏色 所以 我可以把其中一個1003和3合併 就變成1006和1003 而合併的方法就是用上述的方式 (容我囉說說的再解釋一遍 假定r b g 各為1003 1003 3 於是我就拿出一個r和g合成2個b於是這樣的個數就成為 1002 1005 2 再拿出2個b和剩下2個g合成r就成為r b g 的個數是 1006 1003 0 那麼我們令這樣的方法為函數f(x,y)= (x+3,y-3) ) : 而且只要第三個顏色是奇數，都可以找到這種反例。 因為2009 = 2 mod 3 所以是不可能有三個顏色都是一樣多的狀況 所以我們可以用一對一合併的方式將其中的一個比較少的顏色合併掉 也就是函數g(x,y,z) = (x+z,y-z,0) 其中z是顏色最少的那一個 : : 且m > n : : 所以我們用一對一的方式取就可以得到第三種顏色直到原先的顏色中某一個顏色取為止 : : 因此最後會只剩下兩種顏色 其中個數個別為 m-n 和 2*n : : 因為 m = 1 mod 3 和 n = 1 mod 3 => m - n = 0 mod 3 : : 所以就會有一個顏色是三的倍數再用一開始的設計那麼就可以指得到一種顏色 : : 因此對於任意個數總和是2009的三種顏色 存在一種有限的方法 : : 將顏色變成同一種顏色 // --

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