※ [本文轉錄自 daisyhua 信箱] 作者: [email protected] ([email protected]) 標題: Re: [堦墀] 基測數學第6題 時間: Wed May 27 05:51:51 2009 作者: djarum (Tannhauser gate) 看板: argydaisy 標題: Re: [堦墀] 基測數學第6題 時間: Wed May 27 04:32:51 2009 其實呢，以上的回文的思路我應該都能了解，也應該沒有了解錯， 前面各位的思考方法並沒有問題，我也不是要爭辯， 不過我想用最白話的方法釐清一下小妹的思考方法。 今天晚上也跟一位寫程式的好友討論了好久，他的反應起先也跟各位一樣， 經過好幾次的討論溝通以後，最後我們覺得是語意的解釋問題。 以下開始嘗試重新解釋一遍： ----------------------------------------------------------------- 題目: 已知有10包相同數量的餅乾，若將其中1包餅乾平分給23名學生，最少剩3片。 若將此10包餅乾平分給23名學生，則最少剩多少片? (A) 0 (B) 3 (C) 7 (D) 10 ----------------------------------------------------------------- 1. 前面各位的說明以及出題老師的原意我就略過不談了，直接進入小妹的思維： 首先，假設1包餅乾的數量是 X 10包餅乾每包的數量一樣，這點沒問題，因此10包餅乾的數量是 10X； 2. 但是，題目並沒有說明 X 是多少，我們唯一知道的只有1包餅乾分給23個學 生時的餘數是 r ，而 r 可能有很多種狀況，我們只知道在這麼多種狀況裡 面，「最少」的那種狀況是 r = 3 。 但是，題目給的條件只有「最少」的狀況是 r = 3，還可能有 r = 4，r = 5， r = 6，……；因此我們知道 3 <= r。如果平分是在一定要「分盡」的狀況之 下，則 r <= 22，如果 r = 23 就一定要繼續平分。 所以我們知道 3 <= r <= 22 (是否要「分盡」這裡後面再談)。 餘數r可能有很多種狀況，「最少」的那種狀況是 r = 3，餅乾數量 X 則因為 餘數 r 而也有很多種可能性。 3. 從上面敘述得知，在題目給定條件這麼少的狀況下，1包餅乾的數量 X 的可能 狀況有很多種。而1包餅乾平分剩下的餘數 r，與10包餅乾平分剩下的餘數 R 是不一樣的，這裡不要混淆。按照題目要求，這裡我們要求的是10包餅乾平分 23人剩下的餘數 R 值最小的那種狀況。 (即10包平分「最少」多少片，請注意10包平分「最少」與1包平分「最少」是 兩回事，1包平分最少是題目唯一有的條件，10包平分最少是要求的答案。) 4. X % 23 = r X = 23n + r 因此，我們把 r 的每一種狀況都列出來，一個一個代入。 在這裡我用最白話的實際情況來講會比較清楚： a. r 值最少的狀況是 3 的時候，一包餅乾的數量 X 是 26， (正確說是 X = 23n + r，但這裡以 n = 1 舉例) 此時10包餅乾的總數是 260，260除以23的餘數為7，即為標準答案。 b. r 值最少的狀況是 3，但不代表 r = 3的時候，10包餅乾平分就會剩下最少。 每一包餅乾的數量雖然一樣多，但單一一包的數量 X 題目沒有給定，有可能會 因為餘數 r 的不同狀況而改變，因此也影響到10包餅乾的總數量 10X，10X 不 一樣，平分給23人剩下的餘數也會不一樣。 小妹的思考方式就是把所有可能的 r 的狀況都列出來，所以也知道所有可能的 一包餅乾的數量 X，然後得到 10X % 23 = R 的最小值的狀況。 當 r = 7 的時候，一包餅乾數量 X = 23n + 7，又以 n = 1 的情況舉例，所以 X = 30。一包餅乾30片，10包餅乾就是 10X = 300片，300除以23的餘數為 1。 5. 在 3 <= r <= 22 時，將所有 r 的可能狀況列出來代入，得知最小的餘數為 1， 這是在上述思考邏輯時的正確答案。 6. 但是，這裡出現另外一個爭論點，就是題目說「平分」，沒說「平分到盡」，假 如嚴格遵照題目語意，則唯一的條件只有 3 <= r，r 可以到無限大。 這樣當 r 為 23 的倍數的時候，餘數為 0 ，所以正確答案是 (A) 0 ，小妹求 的 1 也不對。 ---------------------------------------------------------------------- 寫得又臭又長請見諒，我的數學退化很嚴重，而且希望不要造成誤解，因此用國 中生最白話直觀的方式說明。 結論： 兩個語意的爭論點： 一、「最少」剩3片的「最少」兩字的解釋。 二、「平分」是否代表平分「到盡」。 我認為出題不夠準確，雖然我們可以猜測出題者的意圖，但是考試不應該有語意 上的模糊空間，這個題目直接講「剩 3片」就很清楚了，多加「最少」反而造成 誤解，猜測出題者想要測試的意圖不應該是考生的責任 (至少在國中基測裡面不 應該是)。我認為這是中文問題，不是數學問題。 ※ 引述《Noamui (雪妖)》之銘言： : ※ 引述《Noamui (雪妖)》之銘言： : 我想爭議點應該就是最少剩3片吧 通常出題都會直接寫 剩三片。 : 難道是要考國中生對於餘數的概念嗎？@@ : 但其實上了高中就會發現餘數也可以不是求最小的餘數吧... : 所以我也覺得出題老師語意沒有拿捏的很精準 : 餘式定理 設P(x)為一包餅乾的數量 Q(x)＝一學生所得數量 : P(x)=23*Q(x)+3 : P(x)-3 = 23*Q(x) : 10*[P(x)-3] = 10*23*Q(x) : 10P(x)-30 = 230*Q(x) : 10P(x) = 230*Q(x) + 30 : ^^^^^^^^ : 因為不用求一個學生分得幾片 且23一定除的盡 所以不用管 : 剩下的步驟就是把30/23...餘數7 : 其實我記得高中好像就是教餘數可以直接處理 : 不過我有點不熟練T^T 所以還是從餘式定理推Orz ※ daisyhua:轉錄至看板 AAAAAAAA 05/27 05:19 ※ daisyhua:轉錄至看板 ZZZZZZZZZZZ9 05/27 05:23 --

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