作者mikek (rabbit)
看板ck47th320
標題Re: 問一個exponential distribution的問題
時間Fri Apr 2 02:37:16 2004
※ 引述《genie2 (資格考賽程4天6戰)》之銘言：
: 有兩個獨立的exponential distribution的變數x1和x2
: parameter 分別是 lambda1, lambda2
: 現在要求 Expectation of Max(x1,x2)
: 正常的做法是用Prob[Max(x1,x2)<=t]=Prob[x1<=t]*Prob[x2<=t]
: 然後微分求pdf
: 可以得到這個期望值應該是 1/lambda1+1/lambda2-1/(lambda1+lambda2)
: 但是我現在用另一種看法（以下用L代替lambda）
: x1和x2之中，比較小的那個是依 Min(x1,x2)分布，它的expectation是1/(L1+L2)
: 接下來我算另一個比較大的，會比這個值大多少的期望值，叫做y
: 然後把兩個期望值相加起來得到Max(x1,x2)的期望值
: 計算y的時候我用條件機率
: x1>x2的機率是L2/(L1+L2)，而此時x1-x2的expection是1/L1
: (By memoryless property of exponential)
: x2>x1的機率是L1/(L1+L2)，而此時x2-x1的expection是1/L2
: 所以，y=[(L1/L2)+(L2/L1)]/(L1+L2)
: 而Max(x1,x2)的期望值就是1/(L1+L2) + [(L1/L2)+(L2/L1)]/(L1+L2)
: 和上面不一樣！
: 請問哪裡錯了？
哇，真是神奇的方法
完全沒錯，只要通分一下就知道兩種答案都等於 [(L1^2+L2^2+L1*L2)] / [(L1*L2*(L1+L2)]
可以寫得更嚴謹一點，就知道你沒做錯
E[ max(X1,X2) ]
= E[ (max(X1,X2)-min(X1,X2)) + min(X1,X2) ]
= E[ (max(X1,X2)-min(X1,X2) ] + E[ min(X1,X2) ]
= E[ (max(X1,X2)-min(X1,X2) ] + 1/(L1+L2)
E[ (max(X1,X2)-min(X1,X2) ]
= E[ (max(X1,X2)-min(X1,X2) | X1>X2 ] * E[X1>X2] + E{ E[ (max(X1,X2)-min(X1,X2) | X1<X2 ] } * E[X1<X2]
= E[ X1-X2 | X1>X2 ] * L2/(L1+L2) + E[ X2-X1 | X2>X1 ] * L1/(L1+L2)
E[ X1-X2 | X1>X2 ]
= E{ E[ X1-t | X1>t, X2=t ] }
不管t是多少， X1-t | X1>t 都是 exponential distribution with mean 1/L1
= 1/L1
同理可知
E[ X1-X2 | X1>X2 ]
= 1/L2
所以啦，你的作法沒錯。
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