作者littleshan (我要加入劍道社!)
看板ask-why
標題Re: [回顧] 論1的無窮大次方
時間Tue Nov 17 00:44:07 2009
※ 引述《Yenfu35 (廣平君)》之銘言：
: 我上個學期期末利用某個機會，向交大應數系白啟光老師請教了這個問題。
: 他說，「1^∞」的意思不是「把1自乘無限多次」，而是下面這種情形：
: 令x趨近於k時f(x)趨近於1、g(x)趨近於無窮大，
: 則當x趨近於k時，f(x)^g(x)就變成1^∞。
: 他也說，f(x)從哪個方向趨近1、g(x)如何趨近於無窮大都有差別，
: 只要有一點點的差距就足以得到完全不同的結果。
但 f(x) 並不等於 1
所以要說 1^∞ 的意思就是 lim f(x)^g(x)
其實是很奇怪的說法 x→∞
底數又不一樣
: （Yenfu35註：這部分倒很清楚，如果f(x)永遠小於1，那f(x)^∞會趨近於0；
: 如果f(x)永遠大於1，那f(x)^∞會趨近於無窮大。）
也不是這樣啊
lim (1+1/x)^x 這個東西是收斂的，也就是大家熟知的 e
x→∞
lim (1-1/x)^x 這個東西也不是 0，而是 1/e
x→∞
: 我記得的大概就是這樣。
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◆ From: 118.168.91.215
1F：推 HuangJC:他的式子,是x趨近於 k 時,而不是無限大時;你要再整理一下 11/17 01:51
2F：推 daze:本質上沒有差別啊。 11/17 07:53
3F：推 daze:顯然原po的註是錯誤的。 11/17 07:55
4F：→ HuangJC:從這篇推導(註)那幾行看是很漂亮,但也確實證明了'差一點點 11/17 10:33
5F：→ HuangJC:差很多',所以 x 趨近於 k 時或無限大時,到底有沒有差別? 11/17 10:34
6F：→ HuangJC:或者呢,k 就是無限大,這樣的特例引伸?之前有提到無限大是 11/17 10:34
7F：→ HuangJC:一個數,我就快暈了;這和對我說 dx 是一個存在的數一樣.. 11/17 10:35
8F：→ HuangJC:我用很久,產生這種直覺,但想想並不是這樣. 11/17 10:35
9F：→ littleshan:x→∞就是1/x→0啊！你做個代換就把它變成趨近於k了 11/17 10:54
10F：推 HuangJC:我就怕這代換,記得沒學好的迴旋還什麼的,代換會長些係數.. 11/17 11:17
f(x) = 1 + x
g(x) = 1/x
x→0+ 時 f(x)→1 且 f(x) > 1, g(x)→∞
lim f(x)^g(x) = e
x→0+
我不知道你說的係數是什麼
如果你覺得 x→0+ 與 x→k 不一樣
那你可以自已推看看 x→0- 的情況
結果是相同的
※ 編輯: littleshan 來自: 140.112.29.108 (11/17 12:24)
11F：推 HuangJC:謝謝,可能就是一樣;我記得的是學過 f(x),可推 f(x-k) 11/17 12:27
12F：→ HuangJC:這一課是用在時間響應,在線性系統裏應用重疊定律.所以一堆 11/17 12:27
13F：→ HuangJC:基本函數已知其解後,開始推移它的發生時間.係數一般是乘或 11/17 12:28
14F：→ HuangJC:加一個定值,倒不影響我們這題的討論. 11/17 12:29
15F：推 noodlemantra:原因很簡單啊, 老師說的是對的, 但原po的註是錯的 11/21 12:29