作者xiaoa (沒有靈魂的人)
看板ask-why
標題Re: [請益] 那我問一個數學好了
時間Fri Jun 5 23:57:42 2009
※ 引述《Equalmusic (Calvin)》之銘言：
: 以下恕刪
: 說了這麼多, 你就想問, 為什麼
: 10 * (0.9 + 0.09 + ...) = 9 + (0.9 + 0.09 + ...) 對吧？
: 0.9 + 0.09 + ...前面 didij 已經說了, 用無限等比級數公式就行了
: （因為 0.9 < 1, 所以他的無限次方是 0, 不是趨近於 0）
: 所以 10 * 1 = 10 = 9 + 1 , 就這麼簡單
: 所以 0.99... * 10, 小數點後面的 9 還是一樣多
我知道你說的. 但問題是你們的看法還是我的看法對
我們都知道 0.99... 有∞個"9"
x10 過後 應該還是 ∞個"9" or ?
現在, 我們想要讓 10 x 0.99... - 0.99...
如果要嚴謹的證明, 我們就必須搞清楚 有多少個 "9"
9.9... 和 0.99..., 在小數點之後, 誰多一個"9"都不行吧?
那要怎麼證明, 10 x 0.99... 之後 是∞個"9" 還是 ∞+1個"9" (包括整數的部分)
Equal大的論述, 應該是說 ∞+1 = ∞
姑且接受
我們就先減..
9.999......9...
- 0.999......9...
9.00000...0000..?
最後一個是誰比較多個"9"呢?
一樣多嗎?
我們就直接比較二者的 ∞ 是誰的大, 或一樣
按Equal大的解釋 ∞+1 = ∞
那合理的說
∞+2 = ∞ 也對
∞+∞ = ∞ 也對
那, 請問要怎麼證明: (number of "9" in 9.9...) = (number of "9" in 0.99...) + 1
而不是 . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . + ∞
而且必須是剛好?
所以有兩種推測
1. 無法計算(因為無法得知誰比較多or比較少)
2. 是應該是剛好一樣多, 扣除整數的"9" 則
9.999......9...
- 0.999......9...9
8.9999...9999..1
如果你們還堅持 10x 0.99..之後, 會perfectly剛好多出一個"9" (不多不少剛好一個)
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請證明
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.244.42
1F：推 nameofroses:我覺得你還是沒看清楚前面幾篇 XD 06/06 00:02
也許吧
我只是沒接受 無窮小 是不存在, 而不是 存在但找不到
2F：噓 JASS0213:我覺得你還是不要再丟臉了，因為你連乘法都不會。 06/06 00:05
3F：推 Equalmusic:樓上的不用這樣吧...先說一句 ∞ 基本上不能拿來加減 06/06 00:08
不能拿來減, 你又減......
9.99... - 0.99... = 9
4F：推 HuangJC:..樓上這樣就不對了,專業者要有耐心,不要傲慢..關機就好了 06/06 00:08
5F：→ Equalmusic:所以碰到 ∞ 我們都會想辦法避開他 06/06 00:08
6F：→ HuangJC:XD 超人刺中隱形俠 06/06 00:09
7F：→ Equalmusic:剩下的交給板上強者吧...我要去吃飯了好餓...XDD 06/06 00:09
8F：推 WINDHEAD:幫JASS0213翻譯:"乘以10"這個動作是兩個集合間的一一對應 06/06 00:09
9F：→ WINDHEAD:兩個集合分別為{0.99..中的9}與{9.999...中的9} 06/06 00:10
10F：→ WINDHEAD:"除以10"就是"乘以10"的反函數. 總之這兩個集合一樣多 06/06 00:11
謝謝. 我知道這個. 問題是後續的計算
11F：推 WINDHEAD:其實這討論串看下來我還是不懂大家爭論的核心在哪 06/06 00:15
12F：→ WINDHEAD:可行的步驟 : 用某種方式構造實數系(允許加減乘除) 06/06 00:15
13F：→ WINDHEAD:再據此討論 0.9... 是這個實數系的哪個元素 06/06 00:16
好難 > <
※ 編輯: xiaoa 來自: 140.112.244.42 (06/06 00:22)
14F：推 WINDHEAD:目前看起來, 你們似乎沒有共同的討論基礎 06/06 00:18
15F：→ HuangJC:呵,我想到 p 進位;如果 0.999~ 我們無法思考,那我令它為一 06/06 00:19
16F：→ HuangJC:單位,創造出 0.999~ 為一單位的進位體制,再來運算 06/06 00:20
17F：→ HuangJC:另外 x^無限大 次方,我記得是檢驗 x 是否為 1 的好方法 06/06 00:21
18F：→ HuangJC:當 x=1- ,f=0;x=1+,f=無限大;只有 x=1 而非趨近,f才=1 06/06 00:21
19F：→ HuangJC:那我能不能要求 0.999~^無限大次方 ,用這個方法證明? 06/06 00:22
20F：→ HuangJC:當然,為了取信,我不允許先把 0.99~ 變成 1 再來算 06/06 00:26
21F：→ nameofroses:我似乎沒有說無窮小是不存在啊 所以才說沒看清楚嘛XDD 06/06 00:33
22F：推 HuangJC:樓上沒說,但 0.999~=1 的網頁裏是有這麼說;它說造成學生無 06/06 00:35
23F：→ nameofroses:9.99... 跟 0.99... 都不是無窮大啊 = = 06/06 00:35
24F：→ HuangJC:法接受,心理不安的理論之一是認為無窮小存在;但它不存在 06/06 00:35
25F：→ nameofroses:這樣喔@@ 06/06 00:35
26F：→ xiaoa:歐, 口誤, 是 不等於0的無窮小 不存在.(你說0.000...? = 0 ) 06/06 00:36
27F：→ nameofroses:這裡有批九好無窮啊～ 有需要就構造這個實數系吧～ 06/06 00:36
28F：→ xiaoa:JC大, "存在但找不到" 跟 "存在"意義不同喔 06/06 00:38
29F：→ nameofroses:0.000...whatever = 0 這跟不等於0的無窮小何干? 06/06 00:39
30F：→ nameofroses:我承認我不清楚無窮小是啥...但我的證明似乎跟它沒關 06/06 00:41
31F：→ xiaoa:也對 XD 0.000...whatever 還不是無窮小 06/06 00:41
32F：→ nameofroses:不如說說什麼是你說的無窮小 06/06 00:42
33F：推 HuangJC:首先呢,無窮小不存在已經被承認了,先夾去配吧;再來談證明 06/06 00:43
34F：→ HuangJC:我上一篇已經證過了呀,它不是存在而找不到,它是不存在 06/06 00:44
馬的,你推文這麼多. 我眼睛都瞎了.....
35F：→ HuangJC:你必需知道,極限本身是加減乘除之外的一個新符號工具,它描 06/06 00:44
36F：→ HuangJC:述的不是常數.比如 f'(x)|x=5 和 f'(2x)|x=5 並不同 06/06 00:45
37F：→ HuangJC:更嚴重的,千萬不能 c=f(5),求出來後對 c 微分,那一定只有0 06/06 00:45
38F：→ HuangJC:換言之,一個點的本身,是沒有斜率的,它最早就從求斜率的需 06/06 00:46
39F：→ HuangJC:求去建構這個符號運算工具,我們可以想像它是一個和真理平 06/06 00:47
40F：→ HuangJC:行的工具,你說它永遠不是真理,但它求的值永遠和真理夠近 06/06 00:47
41F：→ HuangJC:再搭上連續,夾擠..這符號工具說它可以幫你求值,就這樣 06/06 00:47
42F：→ HuangJC:一個點沒斜率,如果沒這工具,我們就只能求一個區間的斜率 06/06 00:48
43F：→ HuangJC:但區間又可以無限小;所以點附在函數上可以求,點本身不能求 06/06 00:49
44F：→ HuangJC:無窮小就像那個點,本身沒意義,但放進函數就有意義 06/06 00:50
45F：→ HuangJC:這個點的左右極限是關鍵,連續也是關鍵;一但不連續,工具就 06/06 00:50
46F：→ HuangJC:破功了,就算有漂亮的運算也不符合符號創建時的語意邏輯 06/06 00:51
47F：→ HuangJC:所以它是一個數值加上語意的工具,和原先的加減不一樣 06/06 00:51
※ 編輯: xiaoa 來自: 140.112.244.42 (06/06 00:53)
48F：推 HuangJC:x->c1 時,f(x)->c2 ,的確永遠不等於,但有機會 f(c1)=c2 06/06 00:53
49F：→ HuangJC:如果連續,f(c1) 不等於 c2,那我也無法想像它要是多少.. 06/06 00:54
50F：→ nameofroses:我覺得xiaoa只是不接受沒有一個數"剛好"小於三吧 其 06/06 01:00
51F：→ nameofroses:實有這個數 只是不是以2.999...表達罷了 06/06 01:01
我認為2.99...就"剛好"小於3
如果2.99...=3,
那就沒有"剛好"小於3的數
因為, 這樣看時 0.0000....1的差值被視為 0
但是, 任何限定的 0.0000000000001 都不能表示「剛好小於」這一個差
則三種可能:
1.「所有剛好小於3的數」 = 3 <--矛盾
2. 你無法表達「那一個剛好小於3的數」, 但它存在
"無法表達"換句話說其實就跟"找不到"一樣
事實上「那一個剛好小於3的數」是跟 我認為的 a = 1 - 0.99... 一樣
a 就是「那一個剛好大於0的數」.....存在, 但無法表達/找不到的數
這也會變成矛盾, 因為 3 - 2.99... = a 有差存在
3. 「所有剛好小於3的數」不存在
那如果"剛好大/小於x的數"不存在, 2.99...=3 沒問題
那 x < 1, 最靠近 1的x也不存在了, 就好像 x 和 1之間多了個空白區
--
以上說法有點反來覆去, 但基本上就是2種:
1. a「那一個剛好大/小於的數」 存在, 但無法表達/找不到
2. a「那一個剛好大/小於的數」 不存在
※ 編輯: xiaoa 來自: 140.112.244.42 (06/06 01:45)
52F：推 HuangJC:不存在.. 06/06 01:47
※ 編輯: xiaoa 來自: 140.112.244.42 (06/06 01:49)
53F：→ HuangJC:極限小不是常數,是一個可以用,但不存在的數 :P 06/06 01:49
54F：→ nameofroses:樓上的意思是？ 06/06 01:49
55F：→ nameofroses: 喔喔 06/06 01:49
56F：→ HuangJC:再討論下去,我家這邊的雞也要喔喔了~ 06/06 01:50
57F：→ nameofroses:有"剛好"小於3的數 只是無法用數字表達罷了 06/06 01:51
58F：→ nameofroses:矛盾是因為 3 - 2.99... = a, a = 0 沒有差存在 06/06 01:52
59F：推 Equalmusic:沒有剛好小於 3 的那個數, 這叫實數的稠密性 06/06 01:55
60F：→ Equalmusic:給定任何兩個實數都可以找到第三個實數處於他們之間 06/06 01:56
61F：→ Equalmusic:除非你要說 2.99...不是實數 06/06 01:56
62F：推 nameofroses:這樣啊 ... 06/06 01:58
63F：→ xiaoa:2.99...是實數 2.99....和3之間找不到第三個實數在他們之間 06/06 01:59
64F：推 Equalmusic:其實任何兩個實數之間的數, 都跟實數軸上的數一樣多 06/06 02:00
65F：→ Equalmusic:當然啦, 因為他們兩個是同一個數阿... 06/06 02:01
66F：→ Equalmusic:好啦, 給定任意兩「相異」實數...囧 06/06 02:01
67F：→ Equalmusic:如果你說 2.99...< 3 那 (2.99.. + 3)/2 等於多少？ 06/06 02:02
68F：推 Equalmusic:別跟我說這兩個相異「實數」不能相加除以二... 06/06 02:04
終於 XDD
WINDHEAD 說的果然是對的, 還是要架構出一個可以討論的實數空間才行
眾人云云都不能證明什麼
只有這才是核心
這裡順便說一下
之前有一篇 自然數和偶數是否一樣多的問題就可以用這個解釋
這跟"無限"的性質有關
自然數和偶數的無限多是同一個等級的, 叫 第一??
所以 自然數和偶數被認為是一樣的無限多
而實數的無限多是另一個更高的等級, 叫 第二??
目前還沒有發現更小或更大得無限
如果有高人知道是怎麼回事, 可以乘機騙點P幣
69F：推 nameofroses:2.99....和3之間找不到第三個實數在他們之間←有你這 06/06 02:14
70F：→ nameofroses:句話 就足夠證明2.99.... = 3 了!! 可喜可賀 06/06 02:14
※ 編輯: xiaoa 來自: 140.112.244.42 (06/06 03:03)
71F：→ Equalmusic:我覺得風頭說的太複雜了...我們討論的就是大家從小學的 06/06 03:35
72F：→ Equalmusic:標準分析教材裡面那四五個 postulates 阿... 06/06 03:35
73F：推 Equalmusic:當你說 2.99...是 3 旁邊那個數的時候, 你就得面對 06/06 03:38
74F：→ Equalmusic:他們相加除以二的那個數是什麼 06/06 03:38
75F：→ Equalmusic:如果你沒辦法面對...那你就要問你的假設出了什麼問題 06/06 03:38
76F：推 phreniax:其實這問題應該不會算難吧? 在我的經驗中~ 06/06 03:40
77F：→ phreniax:有心的話去找本代數來看吧^^ 06/06 03:41
78F：→ phreniax:把無線限維度的空間概念都看懂就懂了~ 06/06 03:41
79F：→ phreniax:這也是回你最後一段回文 06/06 03:42
80F：→ phreniax:找點高等代數來看 脾氣好慢慢看 把"同構"學好 06/06 03:43
81F：→ phreniax:你所說的什麼幾級無限 我跟朋友都戲稱大無限小無限~ 06/06 03:44
82F：→ phreniax:這也是高等代數裡面同構可以解決的 06/06 03:45
83F：→ phreniax:其實說等勢和集合大小一樣 這是不對的 06/06 03:46
84F：→ phreniax:大一的線性代數裡面 你可以輕易找到等勢卻不同構的例子 06/06 03:47
85F：推 phreniax:T屬於線性映射從V打到V普浪 兩個空間都是無限多個元素 06/06 03:50
86F：→ phreniax:但是基底個數不同 這邊就有你腦中大無限跟小無限的差異了 06/06 03:51
87F：→ phreniax:那個0.9999~乘十之後 還是同一個無限多維~ 06/06 03:52
88F：推 Equalmusic:不是很懂你說的...為什麼會講到代數或是同構？ 06/06 03:53
89F：→ phreniax:也就是說T的例中 前空間的元素有可能後空間"展"不出來 06/06 03:54
90F：→ Equalmusic:集合大小只跟集合元素有關...跟他的 binary operation 06/06 03:54
91F：→ Equalmusic:有什麼關係？ 06/06 03:54
92F：→ phreniax:但0.999~的 可以展得出來(from同構) 06/06 03:54
93F：→ Equalmusic:同構必須要兩個相同的 system 才會同構 06/06 03:55
94F：推 phreniax:你口中的system的在數學上定義是? 06/06 03:58
95F：推 phreniax:提到代數只是方法之一 06/06 04:00
96F：推 Equalmusic:定義就是 non-empty set 配上 binary operations 06/06 04:00
97F：→ Equalmusic:像群為 (G, *), 環為 (R, +, *) 之類的 06/06 04:01
98F：→ Equalmusic:同構的意思就是運算前映射跟運算後映射結果一樣 06/06 04:02
99F：→ Equalmusic:沒有運算的話和來同構？ 06/06 04:02
100F：推 phreniax:ㄜ 運算前映射跟後映射的結果一樣 還不是同構 06/06 04:05
101F：→ phreniax:ONE TO ONE AND ONTO 才是 06/06 04:06
102F：→ phreniax:可能要請你找大一線性代數裡面定義看了 06/06 04:08
103F：→ phreniax:解決這文的問題必須在無限多維用同構的等價命題解決 06/06 04:08
104F：→ phreniax:其實代術真的很好用= = 常常算微積都要靠代術才能在算下 06/06 04:09
105F：→ phreniax:去~ 只是代數中可實際應用的部分遠比微積分少 06/06 04:10
106F：推 Equalmusic:這...這我當然知道阿...bijective 是前提阿 囧 06/06 04:10
107F：→ phreniax:不然代數可是比微積分有著"更高"觀點呢^^ 06/06 04:11
108F：→ Equalmusic:先映射後映射是 homomorphism 的條件阿 06/06 04:11
109F：→ Equalmusic:重點在於這跟集合元素數量完全沒關係吧... 06/06 04:11
110F：→ Equalmusic:兩個集合要是沒有 bijective...更不用談同構了 06/06 04:11
111F：→ phreniax:充分?還是必要? 還是充要? 06/06 04:12
112F：→ Equalmusic:而之所以能同構, 前提就是兩個集合一樣大阿 06/06 04:12
113F：→ phreniax:不是...是要證出同構 就是一樣大的無限... 06/06 04:13
114F：→ phreniax:前後順序反了... 06/06 04:13
115F：→ phreniax:"一樣大的無限"是用xia的口吻講的~書上沒這樣的用詞 06/06 04:14
116F：→ phreniax:(在證出來之前誰知道集合一不一樣大 我只是提供一個方法) 06/06 04:16
117F：推 Equalmusic:順序哪裡反了？我講的不是跟你一樣嗎？ 06/06 04:16
118F：→ phreniax:你剛用了"前提"兩字 06/06 04:17
119F：→ phreniax:你口中前提所指涉的東西就是要用"同構"證的 怎能是前提 06/06 04:17
120F：→ Equalmusic:你的問題範疇錯誤, 兩個集合一樣大跟他們構造一不一樣 06/06 04:18
121F：→ Equalmusic:根本是兩個概念... 06/06 04:18
122F：→ phreniax:談數學時候請務必小心 前提 結論 充分 必要等 的詞彙 06/06 04:18
123F：→ Equalmusic:哇咧....bijection 怎麼會要用同構來證 06/06 04:19
124F：→ phreniax:我從來沒提到集合理元素的構造..我只談數量... 06/06 04:19
125F：→ Equalmusic:bijection 指的是一個能 1-1 跟 onto 的函數 06/06 04:20
126F：→ Equalmusic:isomorphism 指的是一個 bijective 的函數 06/06 04:20
127F：→ Equalmusic:滿足運算前映射跟運算後映射相同....你不是數學系的吧. 06/06 04:20
128F：→ Equalmusic:同構就是指構造一樣, 不然為什麼叫同構？ 06/06 04:21
129F：→ Equalmusic:兩個 system 同構意思就是兩個 system 可看做一樣 06/06 04:21
130F：推 phreniax:從你的說詞中bijectve就是iso 但我們就是要說兩集合iso 06/06 04:24
131F：→ phreniax:才是一樣大的 但怎麼又會說要bi當前提... 06/06 04:24
132F：推 phreniax:阿我用詞要更精準 bi等價iso 不是"就是" 06/06 04:27
133F：→ phreniax:bijection 指的是一個能 1-1 跟 onto 的函數 06/06 04:28
134F：→ phreniax:這是您說的 這命題其實是不精準的(雖然我能理解你要說的) 06/06 04:29
135F：→ phreniax:^^ 06/06 04:29
136F：推 phreniax:等了一下 看來該說晚安了 06/06 04:33
137F：→ phreniax:只是丟個我"看過"的解決方法(並非我想出的) 06/06 04:34
138F：→ phreniax:有心的話去挖書看吧^^ 06/06 04:34
139F：推 Equalmusic:我集合論跟代數都很弱...但請指出我哪裡需要再看書？ 06/06 04:47
140F：→ Equalmusic:我另外回了一篇, 為了怕講錯我還特別翻了以前的書出來 06/06 04:48
141F：推 ANXAN:難道有人不知道其實學界中bi有歧義嗎 像是台大楊維哲那派 06/06 10:12
142F：→ ANXAN:都很不喜歡用bi 06/06 10:12
143F：噓 ANXAN:兩個集合要是沒有 bijective...更不用談同構了 06/06 10:19
144F：→ ANXAN:bijection 指的是一個能 1-1 跟 onto 的函數 06/06 10:20
145F：→ ANXAN:isomorphism 指的是一個 bijective 的函數 06/06 10:20
146F：→ ANXAN:沒有人發現前後語意邏輯矛盾嗎 06/06 10:21
147F：→ ANXAN:還問人家是不是數學系的= = 06/06 10:22
148F：推 Equalmusic:哪裡矛盾？願問其詳 06/06 18:46
149F：推 Equalmusic:大前提 bi, 小前提 homo, 結論 iso, 哪裡矛盾？ 06/06 19:42
150F：→ skyviviema:有人不甘心就換個ID噓人來耶 好不磊落 06/08 09:01
151F：推 WINDHEAD:我比較想問楊維哲那派是哪派? 從沒聽過這東西也有分派... 06/08 09:58
152F：推 Equalmusic:真的耶, IP 一樣 XDD 06/08 20:37
153F：→ Equalmusic:我也只學過一種 bijection, 就是 Wikipedia 上那種 06/08 20:39