作者NOtWorThy (想念物理的資工人)
看板ask-why
標題[請益] 那我問一個數學好了
時間Thu Jun 4 01:53:57 2009
2.9999......... = 3
那我建一個集合A = {x|x屬於(不會打)R 且 x屬於(0,3)}
那2.99999..會不會屬於A呢?
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◆ From: 140.113.91.18
1F：推 ot32em:照你第一句(0,3)=(0,2.9999...), 應該是不屬於 06/04 04:41
2F：推 Equalmusic:送你 ∈ XD 06/04 06:33
3F：推 noodlemantra:不屬於 06/04 16:46
4F：→ xiaoa:? 憑什麼 2.9999......... = 3 ? 那 3 = 3.0001........ 嗎? 06/04 18:38
5F：推 nameofroses:2.9...等於3 06/04 19:56
6F：→ nameofroses:3.0001...大於3 06/04 19:56
7F：→ NOtWorThy:2.99...=3是沒錯的 06/04 20:42
8F：→ xiaoa:2.9 =3是對, 3.1 =3為什麼錯? "....."的意涵很重要吧 06/04 21:21
9F：→ xiaoa:如果2.99999999999999999999999999999999999999999999999999 06/04 21:22
10F：→ xiaoa:99999999999999999999999999999999999999999999999999999999 06/04 21:22
11F：→ xiaoa:999999999 = 2.9......, 2.9...也不會 = 3 只是接近.... 06/04 21:23
12F：→ xiaoa:而且 2.9999......... = 3, 並不影響 2.99999 < 3 06/04 21:25
13F：→ xiaoa:但是你到處放".....", 誰知道什麼意思啊 06/04 21:26
14F：推 red0210:...的意思是後面有無數個9吧 不然你以為是什麼意思? 06/04 22:31
15F：→ NOtWorThy:無言...要是你要變這個那請便.. 06/04 23:18
16F：→ NOtWorThy:我不相信你考試時會懷疑1 2 4 8 16 "..." 06/04 23:19
17F：→ xiaoa:誰知道你的2.9999.........是不是等同於 2.99999.. = =+ 06/04 23:43
18F：→ xiaoa:而且, 如果 2.999... = 3對, 那 3.000...01 =3 也會對 06/04 23:45
19F：→ xiaoa:那 2.9... > 2.9...雖然不能成立, 3.0...01 > 2.9....卻可以 06/04 23:46
20F：→ xiaoa:結果矛盾. 即(0,3)不包含,又包含2.9... 06/04 23:48
21F：→ xiaoa:所以最初 假設 2.999... = 3 就錯了 06/04 23:49
22F：→ NOtWorThy:抱歉我不會打"爸"造成誤會~"~ 06/04 23:56
23F：→ NOtWorThy:但2.99...=3卻不是假設 是事實 06/04 23:56
24F：→ NOtWorThy:2+0.9+0.09+0.009+0.0009+...=2+9*lim n->∞ sum(0.1)^n 06/04 23:59
25F：→ NOtWorThy:=3 06/04 23:59
26F：→ NOtWorThy:忘了說 n start from 1 and n belong to R 06/05 00:01
27F：→ NOtWorThy:belong to N = = 抱歉上面打錯 06/05 00:02
28F：→ NOtWorThy:至於3.000.........1 似乎是沒有定義 06/05 00:04
29F：→ xiaoa:....看來你極限的概念有問題.... 06/05 00:25
30F：推 HuangJC:那個是有證明的,2.9 9循環,就是3;原因是因為數值表示法的 06/05 00:27
31F：→ xiaoa:2.99....能無限逼近3, 但永遠小於3. got it? 06/05 00:27
32F：→ HuangJC:特性;除了數學證明,你至少應該相信一個數有超過一種表示法 06/05 00:27
33F：→ HuangJC:1/2 就是 2/4,對吧! 而 2.9 9循環等於3,這並不是'很接近' 06/05 00:28
34F：→ NOtWorThy:... 06/05 00:29
35F：→ HuangJC:你應該想像成,它是另一種表示法;然後它有數學證明 06/05 00:29
36F：→ xiaoa:lim x→0 (x/x) = 1, 但是 0/0 不存在 06/05 00:29
37F：→ NOtWorThy:在數學上是等於3 因為他們差距要多小就有多小 06/05 00:29
38F：→ HuangJC:你講的我知道 XD ; 0.1,1循環,是不是可以表達成 0.11,11循 06/05 00:30
39F：→ NOtWorThy:你沒辦法清楚說明小到甚麼程度.. 06/05 00:30
40F：→ xiaoa:....看來你極限概念完全錯誤..... 06/05 00:30
41F：→ HuangJC:環?也可以表達成 0.111,111循環..先承認這點;就這麼證的.. 06/05 00:31
42F：→ NOtWorThy:因為你每給訂一個esilon是最小值 但馬上就可以找到另一 06/05 00:31
43F：→ HuangJC:在證明裏,並沒去用極限概念.它被承認為'數的另一種表示' 06/05 00:31
44F：→ NOtWorThy:數比esilon更小 06/05 00:32
45F：→ xiaoa:也因為你永遠找得到這個差,所以3-2.9... =/= 0 <-never will 06/05 00:33
46F：推 HuangJC:極限是說'差距要多小有多小',但這次真的不用極限.. 06/05 00:34
47F：→ NOtWorThy:是找不到 因為你不能說差是某一個數 06/05 00:34
48F：→ HuangJC:這次是說,2.9,9循環 是3的另一種表示方式;不然你會頭痛喔 06/05 00:34
49F：→ NOtWorThy:你說永遠都找的到 那請問是多少 06/05 00:34
50F：→ HuangJC:如果堅持數不可用另一種表示方式的話,那回答我另一個問題 06/05 00:35
51F：→ HuangJC:X=0.12,12循環,Y=0.1212,1212循環,哪個大?描述不同就不同? 06/05 00:36
52F：→ HuangJC:如果堅持描述不同就不同,請給我 X-Y 的值 :) 06/05 00:36
53F：→ HuangJC:這個值,很接近0但不是0,那麼是左趨近還是右趨近? 06/05 00:37
54F：→ NOtWorThy:數的表示法當然不只一種 而我那麼說並不是否定你說的 06/05 00:37
55F：→ NOtWorThy:數不能有別名 06/05 00:38
56F：→ NOtWorThy:而是說2.99..跟3的差是多少找不到 06/05 00:38
57F：→ xiaoa:JC,你可以暫停嗎? Not 3-2.9...= ?不重要, 重要的是不 = 0 06/05 00:39
58F：→ NOtWorThy:我是在回xiaoa先進 06/05 00:40
60F：→ xiaoa:如果 2.9..= 3, 那 3 - 2.9... = 0. 但你知道事實上不等於 06/05 00:41
61F：→ HuangJC:不,我不知道它不等於... 06/05 00:41
62F：→ HuangJC:我不能假設直覺就是答案,除非我看到證明 06/05 00:42
63F：→ HuangJC:"使用循環小數表示有理數的缺點在於表示方式的不唯一性" 06/05 00:42
64F：→ NOtWorThy:是等於 沒疑問 06/05 00:42
65F：→ HuangJC:這句話告訴你,這不是趨近的問題,是多種表示法的問題 06/05 00:43
66F：→ HuangJC:這裏面鑽進去還可以看到昨天討論的'進位制'問題.. 06/05 00:44
67F：→ HuangJC:比如,用十進位很好表達的數,用二進位表達卻變循環小數等等 06/05 00:44
68F：→ HuangJC:它是表達法上的問題,而不是趨近 06/05 00:44
69F：→ xiaoa:函數 f(x) = x/x, 令x→0 和 令x=0, 有什麼差別? 了解? 06/05 00:45
70F：→ HuangJC:你不能用那個問題來類比這個問題啦... 06/05 00:46
71F：→ NOtWorThy:x大你搞錯了 lim x->a 是x很接近a 06/05 00:47
72F：→ HuangJC:你舉的例子,只能用在極限;但這次不是談極限呀.. 06/05 00:47
73F：→ NOtWorThy:JC大 說的的確沒錯 06/05 00:48
74F：→ NOtWorThy:因為在10禁制下的無線循環小數 在別進至下舊不一定是 06/05 00:49
75F：推 HuangJC:我們的十進制本身有很多問題,比如表達 PI,變成無限.. 06/05 00:49
76F：→ HuangJC:這一切,是表達法的問題.. 06/05 00:49
77F：→ NOtWorThy:ex. (0.33...)ten=1/3=(0.1) three 06/05 00:50
78F：→ xiaoa:你知道嗎....循環小數 只能"假設" 0.33... = 1/3 06/05 00:55
79F：推 HuangJC:循環小數是一種書寫法,如果你堅持它是趨近於某一值的話 06/05 01:00
80F：→ HuangJC:那麼,0.567,67循環(0.56767676767...) 是趨近多少呢? 06/05 01:00
81F：→ HuangJC:趨近於 0.5676,還是0.5677?還是有左右兩個趨近點,打乒乓? 06/05 01:01
82F：→ HuangJC:所以它不是在趨近一個數,最原始的描述是它'寫不完'.. 06/05 01:02
83F：→ HuangJC:這個寫不完的數,有一個方法把它變成分數;而某個特殊例子下 06/05 01:03
84F：→ HuangJC:這個分數恰好可以整除,變成一個單純的數.. 06/05 01:04
85F：→ HuangJC:如果我們承認 1/2,2/4,3/6 都是同一個數的不同表示法 06/05 01:04
86F：→ HuangJC:那麼為什麼要對 9/9 就是 1 感覺奇怪呢? 06/05 01:04
87F：→ xiaoa:你也知道循環小數就只是循環小數, 那1/3 怎麼 = 0.33...? 06/05 01:06
88F：推 HuangJC:那我們真的要來談極限了;極限章節裏常出現的關鍵字,連續及 06/05 01:07
89F：→ HuangJC:可微,這點很重要;你剛舉 x/x,這東西不連續,有奇異點 06/05 01:07
90F：→ HuangJC:f(x) 必需先證明連續,然後才可以說 x->x' 和 x=x' 相同 06/05 01:08
91F：→ HuangJC:如果不連續,那麼 x&x' 趨近就和相等是有差別的 06/05 01:09
92F：→ HuangJC:如果連續,我們就可以用夾擠定理,把答案給夾出來 06/05 01:10
93F：→ HuangJC:當我知道 f(x+) & f(x-) 相等,且 f(x) 連續..那趨近怎麼能 06/05 01:11
94F：→ HuangJC:不相等?因此問題可以再限縮到數字系統連不連續 06/05 01:12
95F：→ xiaoa:極限的連續是左右趨近的. 如果 2.99.. = 3, 那3 = 3.00.... 06/05 01:13
96F：推 HuangJC:在極限章節之前,必需先證明夾擠定理 06/05 01:14
97F：→ xiaoa:請看最上面,說明過了 06/05 01:14
98F：推 HuangJC:有沒有連續是很難讀通的一章,常常式子算好了卻漏了奇異點 06/05 01:16
99F：→ HuangJC:我不知道自己會不會漏,但你要說 3.00~1 就是 3,有可能啊 06/05 01:16
100F：→ HuangJC:重點是,你要用嚴格的數學證明;可我讀久了,我沒那麼嚴格 06/05 01:17
101F：→ HuangJC:所以我就不附議你的答案了 06/05 01:17
102F：→ xiaoa:我知道怎麼做了.... 06/05 01:26
103F：→ xiaoa:我又不知道怎麼做了...用講的:2.99.. = 3; 3 = 3.00各對一半 06/05 01:57
104F：→ xiaoa:卻又互相矛盾.但剛好它們是"或"的關係...所以 x→3成立 06/05 02:02
105F：→ xiaoa:但是, 剖半後的關係, 2.99...=3不能單獨成立 06/05 02:03
106F：→ xiaoa:啊....這樣說也不對.... x→ 和 循環不太一樣.... 06/05 02:25
107F：→ xiaoa:應該說是f(x), 不是 x→a 06/05 02:26
108F：推 HuangJC:剛才說 2.9,9~ 有很多表達方式,剛好看到幾個很有趣,比如 06/05 02:31
109F：→ HuangJC:2.99,9~;3;3.0,0~ ;沒錯,0結尾都能說0循環,真是來找碴 XD 06/05 02:32
110F：→ HuangJC:3.0000~1 , 其實就是 f(x)=x in x->3+ ,還好啦,f(x)連續 06/05 02:32
111F：→ HuangJC:微分裏一堆問題也這樣解的,比如 X^2 微分變 2X,也沒跟你說 06/05 02:33
112F：→ HuangJC:是趨近2X,而是'就是'2X呀;所以只要連續,夾擠,就大膽用吧~ 06/05 02:34
113F：推 HuangJC:另外..極限裏的 dx 畢竟不是0,如果沒馬上計算,就不可忽略 06/05 02:45
114F：→ HuangJC:比如 (dx+dx)/dx,兩倍就是兩倍了,總不能先代0再算吧.. 06/05 02:46
115F：推 HuangJC:;;;其實這兩個不太一樣,2.9,9~ 是用分數的方法解成3 06/05 03:01
116F：→ HuangJC:但 3.000~1 這東西根本不能套那公式,只能用極限.. 06/05 03:02
117F：推 HuangJC:XD 突然想到了,極限在語意上有嚴格的推導.. 06/05 04:08
118F：→ NOtWorThy:還有一個關鍵點 數並非離散的 06/05 13:09
119F：推 HuangJC:就我說的連續呀.. 如果左極限不等於右極限,就不能用 06/05 13:29
120F：→ HuangJC:經典例子是 f(x)=x^2/x,這會有絕對值的效果,f'在0+,0-不同 06/05 13:30
121F：→ HuangJC:既然不同,那麼 f' 在x=0的值,和 x->0 的值,就不能相提並論 06/05 13:31
122F：→ HuangJC:上面 f' 打錯了 XD ; 總之連不連續很重要,連續時.. 06/05 13:32
123F：→ HuangJC:x->3 和 x=3 求得的 f 值,我們推定是相同的 06/05 13:33
124F：→ NOtWorThy:我知道 但我指的不適函數 是數 06/05 13:34
125F：→ HuangJC:數好像在函數這個集合裏;比如夾擠定律的描述其實是函數.. 06/05 13:39
126F：→ HuangJC:f<g<h 這樣夾? 不..它講得更寬,是 f(x)<g(x)<h(x)這樣夾 06/05 13:40
127F：→ HuangJC:而 f(x)=x 就變成描述數了.. 06/05 13:40
128F：推 amozartea:你已經打等號了 當然等於 06/19 19:56