※ 引述《hsnuyi (羊咩咩~)》之銘言： : 因為有人問 所以PO一下 : 首先我們知道: : ∞ x^n : Σ ----- = e^x ---------- (1) : 0 n! : 題目要求的為: : ∞ (2^n)(n^2 + 1) ∞ (2^n)(n^2) ∞ 2^n : Σ ---------------- = Σ ------------ + Σ ----- : 0 n! 0 n! 0 n! : 第二個Σ淺顯易見為e^2 : 再來 我們把第(1)式對x微分 : ∞ nx^(n-1) : Σ ---------- = e^x : 0 n! 這邊不太嚴謹， n=0 時 a0 = 1 = x^0 不能直接對x微變成 0 x^-1 應該要改成 ∞ x^n ∞ x^n Σ ----- = 1 + Σ ----- 0 n! 1 n! ∞ nx^(n-1) 對 x 微 = Σ ---------- 1 n! 下面也一樣 : 再微一次 : ∞ n(n-1)x^(n-2) ∞ (n^2)x^(n-2) ∞ nx^(n-2) : Σ --------------- = Σ -------------- - Σ ---------- = e^x : 0 n! 0 n! 0 n! : 稍微看一下 ^^^^^^^^^^^^^^^^^ , 這個東西當x=2時 和我們需要求的那個式子很像 : 令這個東西 = I : 所以說: : ∞ nx^(n-2) : I = e^x + Σ ---------- , x = 2 帶入 : 0 n! : ^^^^^^^^^^^^^ : 這個可以由一次微分得到 : I = e^2 + 0.5e^2 = 1.5e^2 : 又 我們一開始所求的為 : 4I = 6e^2 : 所以說原式等於: 6e^2 + e^2 = 7e^2 --

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