k k o -------- () --------o 兩小球質量m在兩側,中間一大球質量M, 用彈簧(彈力常數k)連接, 求1.特徵頻率(考試通常只考到這) 2.振動模式 (要懂物理要解到這) 首先, 先解釋一下特徵頻率, 特徵問題是早期在說明"能量不連續"的一種數學技巧 如今被廣泛的應用在各種工程問題上 特徵值可謂之為工程中所實際測量到的值 特徵向量則是相應特徵值所代表的狀態 我舉個例子,一台販賣機,賣舒跑10元,沙士10元,可樂15元 則10元15元則代表特徵值,所對應的飲料則是特徵向量 整台販賣機就是這個問題的特徵空間 再補充說明一下, 這個問題10元是重根,對應到兩個不同的特稱向量, 所以可以對角化 可以對角化又代表什麼意義?? 要解釋這個就要扯到測不準原理,在此略. 如果這個販賣機改成舒跑10元,舒跑10元,可樂15元 則此特徵問題10元仍是重根,但僅對應一個特徵向量"舒跑" 則個問題為"兼併", 無法對角化, 有測不準的問題 (簡單說明測不準:當你花10元買了一罐舒跑,你是押了販賣機左邊的舒跑還是右邊的?) 當這系統在特徵頻率(特徵值)振動時,每個物體的振動情形就叫做振動模式, 取三球連線為x軸, 當3球偏離平衡位置時的位移依次為X1 X2 X3 第一步 寫 Eq of motion 不難就是虎克定律 mX1" ("代表微前面那個符號兩次) = k (X2-X1) MX2" = -k(X2-X1) + k(X3-X2) (1) mX3" = -k(X3-X2) 第二步 設 X1=A1 *cosωt X1" X2=A2 *cosωt X2" X3=A3 *cosωt 求出 X3" 代入 (1) 接下來就是A1 A2 A3的3元一次聯立方程 第三步 若希望A1 A2 A3 有 non- trivial solution (就是非零解) 係數行列式要為零,解出ω 解ω各位將面臨有點複雜但是只有國中程度的數學. ω有3個,解出以後,ω1 = 0 代表不振動(trivial!) 另外兩個ω2 and ω3 大家可以帶入(1) 解出 相對應的A1 A2 A3 然後在想想他的物理,如果數學算出來的振動模式 跟 你認為系統應該出現的振動模式相符,這題你就會了!(但我相信其中還有疑問,但我認為 那是線性代數,也就是數學方面的問題了.) 解這題,若你是第一次解,花個一小時跑不掉. --

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