作者examuser (examuser)
看板Statistics
標題[問題] 二項分配趨近泊松分配的證明
時間Wed Jun 10 20:56:16 2015
如果是跟統計軟體有關請重發文章。
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不好意思，請問是否可以問比較基礎的問題？問題如下。
當二項分配的n趨近於無限時，該二項分配會趨近於泊松分配，
即n→∞時，p=λ/n，q=1-λ/n
[n!/x!(n-x)!](p^x)[q^(n-x)]
=[n!/x!(n-x)!][(λ/n)^x][(1-λ/n)^(n-x)]
=[n!/x!(n-x)!][(λ/n)^x][(1-λ/n)^n][(1-λ/n)^-x]
=[(λ^x)/x!][n(n-1)(n-2)...(n-x+1)/(n^x)][(1-λ/n)^n][(1-λ/n)^-x]
=[(λ^x)/x!]{(n/n)[(n-1)/n][(n-2)/n]...[(n-x+1)/n]}[(1-λ/n)^n][(1-λ/n)^-x]
=[(λ^x)/x!]{1[1-(1/n)][1-(2/n)]...[1-(x-1/n)]}[(1-λ/n)^n][(1-λ/n)^-x]
n→∞，1[1-(1/n)][1-(2/n)]...[1-(x-1/n)]=1
以下兩個部分有點不清楚：
n→∞，[(1-λ/n)^-x]=1
n→∞，[(1-λ/n)^n]=e^(-λ)
請問是要用Maclaurin series求出此結果嗎？還是有甚麼書籍對此有詳細解說。
其中n→∞，[(1-λ/n)^n]=e^(-λ)的部分
e^(-λ)=f(λ)
={[f(0)](λ-0)^0}/0!+{[f'(0)](λ-0)^1}/1!+{[f"(0)](λ-0)^2}/2!+...
=[e^(-0)λ^0]/0!+(-1)[e^(-0)λ^1]/1!+[(-1)^2][e^(-0)λ^2]/2!+...
=1-λ+(λ^2)2!+...
∞
=Σ [(-1)^n](λ^n)/n!
n=0
(1-λ/n)^n
∞
=Σ[n!/m!(n-m)!](1^n)[(-λ/n)^(n-m)]
m=0
=Σ[n!/m!(n-m)!][(-λ/n)^(n-m)]
=Σ[n!/m!(n-m)!][(-1)^(n-m)][(λ/n)^(n-m)]
=Σ(n!/m!)[(-1)^(n-m)][(λ/n)^(n-m)]/(n-m)!
=Σ[n(n-1)(n-2)...(n-m+1)][(-1)^(n-m)][(λ/n)^(n-m)]/(n-m)!
到這邊卡住，Σ[(-1)^n](λ^n)/n!和(1-λ/n)^n沒能證明相等，不知道錯在哪裡。
我想n→∞，[(1-λ/n)^-x]=1的部分應該也能用上述方式求得，只是卡住。
抱歉！麻煩各位！
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1F：→ LiamIssac: 微積分課本 或是 機率課本 06/10 20:59
2F：推 SonicJuice: n→∞，[(1-λ/n)^n]=e^(-λ) 不就是定義嗎？ 06/15 00:23
謝謝各位！
好像找到解法了。
(1-λ/n)^n，設-λ/n=1/t，n=-λt
→(1-λ/n)^n
=(1+1/t)^(-λt)
=[(1+1/t)^t]^-λ
n→∞，ｔ→∞
(1+1/t)^t
∞
=Σ[t!/s!(t-s)!][1^(t-s)][(1/t)^s]
s=0
=Σ[t!/s!(t-s)!][(1/t)^s]
=Σ{[(1/t)^s][t(t-1)(t-2)...(t-s+1)]}/s!
=Σ{(t/t)(t/t-1/t)(t/t-2/t)...[t/t-(s-1)/t]}/s!
=Σ1/s!
=e
→[(1+1/t)^t]^-λ=e^(-λ)
至於n→∞，[(1-λ/n)^-x]=1，因為x非趨近無限，
所以λ/n趨近0，故為1。
不知道這樣對不對。
※ 編輯: examuser (111.249.231.110), 06/16/2015 00:58:08
3F：推 simon552614: 回2樓，那根本不是定義 06/18 12:50
4F：→ simon552614: 回原po，先取ln再用羅畢達證極限比較快 06/18 12:50
5F：推 simon552614: 最後-x次方的想法，直觀是對，但還是要證 06/18 12:52
用羅比達定理求解如下：
(1-λ/n)^n
=e^[ln(1-λ/n)^n]
=e^[nln(1-λ/n)]
=e^{[ln(1-λ/n)]/(1/n)}
x→∞下，f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)－－羅比達定理
[ln(1-λ/n)]/(1/n)
→-λ(-1/n^2)[1/(1-λ/n)]/(-1/n^2)
=-λ[1/(1-λ/n)]
=-λ
→(1-λ/n)^n=e^(-λ)
至於(1-λ/n)^(-x)=1，證明如下，不知道對不對：
(1-λ/n)^(-x)
=e^[ln(1-λ/n)^(-x)]
=e^[-xln(1-λ/n)]
=e^[ln(1-λ/n)/(1/-x)]
n→∞下，ln(1-λ/n)=-λ(-1/n^2)[1/(1-λ/n)]=0
n→∞下，因x為有限常數，不存在0/0不定型，故(1-λ/n)^(-x)=1。
※ 編輯: examuser (111.249.214.120), 06/25/2015 22:50:26