作者saltlake (SaltLake)
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標題[問題] 由各元件失效機率估系統失效者
時間Fri Jun 5 06:28:13 2015
假如有一個系統甲(串聯設計)包括一號和二號元件
處理的時候必須先讓元件一處理完成再交給元件二處理
元件一的失效機率是 A, 元件二的是 B
兩個元件的失效機率部會互相影響
請問這樣條件下 系統甲的失效機率是?
如果系統是用乙的設計(並聯設計)
工作處理的時候可以利用元件一或元件二
利用元件一處理的機率是 p, 元件二 (1-p)
這時候系統乙的失效機率是?
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1F：推 allen1985: 可以試著把你的答案寫出來嗎 想看看你的想法是什麼 06/05 07:05
一串獨立事件的機率是個別事件機率的乘積
但是在這邊顯然不適用 要不然在串聯的時候 元件二的失效機率是一的話
整個系統的失效機率就不是一...
另一個對串聯的"想法"是 對每個元件 成功的得分是一 失敗則零分
所以單一元件的成功期望值是 1*p1+0*(1-p1) = p1 和單元件的成功機率相同
串聯的兩個元件狀況則是把個別元件的個別狀況成功期望值相乘 最後加總
所以是 1*p1*[ 1*p2+0*(1-p2) ]+0*(1-p1)*[ 1*p2+0*(1-p2) ] = p1*p2
如此易見在 N 個元件串聯的情狀下 系統成功機率是 Pi( p_k, k = 1 to N)
當系統的元件越多而越複雜的時候 系統最終成功的機率越小 和直覺相合
但是不知如何證明這種想法正確否
並聯的狀況 首先承襲上面的成敗期望值做法
假設有 2 個元件 因為"走"任一元件的機會相同 所以走元件一的期望值
是 1/2*[ 1*p1+0*(1-p1) ] = p1/2 顯然元件二的期望值是 p2/2
系統總共的期望值是 (p1+p2)/2
一般而言 有 N 元件的並聯系統的成功期望值是 sum( p_k/N, k = 1 to N )
= sum( p_k, k = 1 to N )/N
上面的和是 N 個小於 1 的數之加總 故必小於 N
因此系統的成功期望值或者說總成功機率 是小於 N 的數除以 N 而必小於 1
至少合於機率的定義
但問題仍在於無法"證明"這種想法的正確性
※ 編輯: saltlake (61.228.128.80), 06/05/2015 11:39:21
2F：推 celestialgod: 系統甲算A失效或B失效的機率， 系統乙算AB都失效的 06/05 11:36
3F：→ celestialgod: 機率 06/05 11:36
4F：推 allen1985: 如C大說的 這題沒這麼難 如果C大的提示 你還算不出來 06/05 12:07
5F：→ allen1985: 等等再給你答案 06/05 12:08
依然無法從提示求解
如何在串連時單獨計算元件一(或A)所導致系統失效的機率?
※ 編輯: saltlake (61.228.128.80), 06/05/2015 12:21:52
6F：推 allen1985: 你最後這句的問題 跟原文的問題又不一樣了喔 06/05 12:47
7F：→ allen1985: 最後這句是條件機率 06/05 12:48
8F：→ yhliu: 既然兩元件失效與否不獨立, 則僅有個別失效率是不夠的. 06/05 17:38
9F：→ yhliu: 需要兩元件同時失效機率, 設以 C 表示. 則並聯系統之失效率 06/05 17:40
10F：→ yhliu: 就是 C; 而串聯系統失效率是 A+B-C. 06/05 17:41
11F：→ yhliu: 但如非真正並聯, 而是如說明的, 機遇性地使用元件一或二, 06/05 17:43
12F：→ yhliu: 那麼, 兩元件失效與否是否獨立並不影響結果, 失效率是 06/05 17:46
13F：→ yhliu: pA+(1-p)B. 06/05 17:47
14F：→ yhliu: 真正的 "並聯" 系統應是: 只要系統中一元件正常, 整個系統 06/05 18:10
15F：→ yhliu: 就正常. 並不是如說明那樣以某個機率選用元件一, 另個機率 06/05 18:11
16F：→ yhliu: 選用元件二. 06/05 18:11