X1,...Xn iid~N(μ,σ^2) μ,σ^2皆未知待估計 暫且假設σ^2>0。 S1^2=自由度修正的σ^2估計量 S2^2=σ^2mle 由卡方分布得知：(證明省略請自己補充) E(S1^2)=σ^2 E(S2^2)=(n-1)σ^2/n Var(S1^2)=2σ^4/(n-1) Var(S2^2)=2(n-1)σ^4/n^2 E[(Si^2-σ^2)^2]=E[(Si^2)^2]-2σ^2E(Si^2)+E[(σ^2)^2], i=1,2 且已知Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 ∴E[(S1^2-σ^2)^2]={Var(S1^2)+σ^4}-2σ^4+σ^4 =2σ^4/(n-1) E[(S2^2-σ^2)^2]={Var(S2^2)+[E(S2^2)]^2}-2σ^2E(S2^2)+σ^4 =σ^4(2n-1)/n^2 ∵2/(n-1) - (2n-1)/n^2 =(3n-1)/[n^2(n-1)] 當n>=2時(此時自由度修正的估計量才會有意義)， (3n-1)/[n^2(n-1)]>0 故得知E[(S1^2-σ^2)^2]-E[(S2^2-σ^2)^2]>0 E[(S1^2-σ^2)^2]>E[(S2^2-σ^2)^2] ※ 引述《xxxxxxxx ( 一切重新開始)》之銘言： : 先附上題目 : http://wwwc.moex.gov.tw/ExamQuesFiles/Question/091/013312300.pdf : 試卷中的第19題 先說官方的答案為A : 我的問題如下 : 如果我的理解沒錯的話，第二個估計式非不偏估計 : 那麼他要問的b應該不是要求Var而是MSE才對 : 依照這個邏輯去解，a和b的大小要n而定 : 但答案是a>b : 如果題目只是單純比較兩個估計式的Var， : 是OK的...可是我無法說服自己的眼睛 : 我看到的明明是問求E[(S1^2-sigma^2)^2] : S1的期望值不等於sigma^2 : 所以E[(S1^2-sigma^2)^2]不等於Var[S1^2]不是嗎 : 希望有人看的懂我的疑惑 : 到底我哪邊想錯了? : 國考的答案不太可能有問題 : 答案有錯的話早就一堆人寫信去問了 -- 已更正筆誤。 ※ 編輯: anovachen 來自: 1.173.165.68 (03/13 15:57)