略講解一下 ※ 引述《Akromas (愛若瑪)》之銘言： : 我在書上看到說 : : 如果玩擲硬幣遊戲的公平賽局， : 也就是說用擲硬幣來決定輸贏 : : 若出現正面，你得到一元；若出現反面，則是你輸一元。 原 po 舉的例子是投擲公正銅板的隨機試驗 定義隨機變數 X 為 X(正面) = 1 與 X(反面) = -1 且讓 Xi 代表第 i 次試行的隨機變數 : 而硬幣是一個完全公正的銅板， : 亦即出現正面與反面的機率都是1/2的話。 : 就理論上來說 : : 玩的次數若越多， : 則期望值越趨近於0(正面與反面出現的次數越接近)。 上面兩句話有兩個錯。 (錯誤一) 假設執行了 n 次的試行, 令 Yn 為其總和 (也就是說 Yn = X1 + ... + Xn )。 Yn 期望值就是 0, 不會隨著 n 越大值會變得不一樣。 (錯誤二) 期望值越趨近於 0 不代表正面與反面出現的次數越接近。 理由雷同, 如果期望值是 0 不代表投十次銅版一定五次正面, 另外五次一定是反面 : 但統計學家實際用程式去跑時， : 竟發現當遊戲次數若很多多到超過一定次數時， : 期望值反而是越不會趨近於0 ! ^^^^^^ 不是期望值, 應改成總和 Yn : 而且當遊戲次數越多時， : 則每次程式跑出來的結果反而是離0越來越遙遠...... 這裡應該是說當 n 越大, 反而 Yn "傾向" 離 0 越遠。 用傾向的意思是, 有時會近一點, 有時會遠一點, 但整體來看, 是離 0 越遠的。 : 比如拿投擲10萬次和投擲5萬次的期望值與來比， : 則投10萬次的期望值反而會與0差距較大。 : (而且硬幣是完全公正的1/2、這試驗做了很多次的結果都一樣。) : 請問這是真的嗎 ? 先別拿 5 萬次與 10 萬比較, 拿 1 次與 100 次來比。 Y1 一定與 0 相距 1 單位, 而 Y100 很難與 0 相距 1 單位以內。 : 以及為何會有這種奇怪的情形呢 ? : 感謝～ 簡單來說, E(Xi) = 0, Var(Xi) = E(X^2) = 1 E(Yn) = 0, Var(Yn) = n Yn 的變異數是隨著 n 變化的。n 越大, 變異數越大, 所以傾向離 0 越遠。 這個問題類似 1) 投銅板越多次, 擲出正面的次數越接近一半 2) 投銅板越多次, 擲出正面的比率越接近 1/2 哪一個是對的? --

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