作者LoreBeef (知識牛)
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標題Re: [問題] 一題機率問題與一題求UMVUE問題
時間Thu Jan 27 14:46:44 2011
※ 引述《xtwo (如果時光能倒流)》之銘言：
: iid
: 2.X1...Xn~~~exp(θ) 求Pr(X>C)之UMVUE
: 煩請高手解惑 謝謝~
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.119.210.184
1F：推 west1996:Gamma 01/27 08:53
2F：→ yhliu:Given ΣXi=t, X1/t 服從 beta 分布. 01/27 13:14
請問參數是？
以下是我推導的部份，卻跟答案不同
ΣXi=t 沒標示代表sum from 1 to n
f(x) = P(X1=x | ΣXi=t )
= P(X1=x ∩ ΣXi=t) / P(ΣXi=t)
n
= P(X1=x ,ΣXi=t-x) / P(ΣXi=t)
i=2
n
=
P(X1=x)P(ΣXi=t-x)/
P(ΣXi=t)
i=2
=
θexp (-xθ) *
[θ^(n-1)][(t-x)^(n-2)]exp[-θ(t-x)]*
Γ(n)
___________________________________________________
Γ(n-1) *
(θ^n)[t^(n-1)]exp(-θt)
= (1/t)(n-1)(1-x/t)^(n-2)
P(X>c)=1-P(X≦c)
c
又P(X≦c)= ∫ (1/t)(n-1)(1-x/t)^(n-2) dx
0
1
= ∫ (n-1)k^(n-2)dk ( let k=1-x/t )
1-c/t
= 1 - (1-c/t)^(n-1)
則P(X>c)=1-P(X≦c)
=1-(1 - (1-c/t)^(n-1))
=(1-c/t)^(n-1)
可答案卻是(1-c/t)^n
不知道我哪裡有錯誤
--
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◆ From: 140.119.210.184
※ LoreBeef:轉錄至看板 Math 01/27 21:18
3F：→ yhliu:E[(1-c/T)^n] 似乎不存在? 01/28 13:11
4F：→ yhliu:我不知哪裡弄錯, 無法證得 E[(1-c/T)^{n-1}] = P[X>c] 01/28 13:12
5F：→ yhliu:發現問題: P[X>c|T=t] 不是單純 (1-c/t)^{n-1} 或 (1-c/t)^n 01/28 18:40
6F：→ yhliu:當 t<c 時, P[X1>c|T=t] = 0. 以上 T=X1+...+Xn. 01/28 18:40
7F：→ yhliu:所以, 所求的 UMVUE 是 [(1-c/T)^+]^{n-1}, 01/28 18:44
8F：→ yhliu:其中符號 (a)^+ 表示 a 的 positive part, 即 01/28 18:45
9F：→ yhliu:(a)^+ = 0 if a<0, (a)^+ = a if a>=0. 01/28 18:45
10F：→ LoreBeef:謝謝老師 01/29 12:14