作者whitejay (白鳥)
看板Statistics
標題[問題] 順序統計量的變異數
時間Thu Jan 28 03:05:07 2010
想跟大家請教一下
題目概述如下: 在分配為Uniform(0,1)之下 求第K個順序統計量的期望值
這個部分我順利證明出來了 結果為 E[X_((k)) ]=kθ/(n+1)......(1)
剛好我之前寫別的題目有練習到求K=1與K=n的順序統計量期望值&變異數
結果如下 E[X_((1)) ]=θ/(n+1) E[X_((n)) ]=nθ/(n+1)
Var(X_((1) ) )=Var(X_((n) ) )=(nθ^2)/((n+1)^2 (n+2)).......(2)
期望值的結果跟我直接用(1)式分別帶k=1與k=n相同
順便證明了我(1)沒證錯
我的問題在於由(2)式可以發現二者變異數相同(證明的結果)
我的想法是說 因為不論哪個順序統計量 都來自於同一個Uniform分配
結果相同很正常
根據這個想法我很自然設定 Var(X_((k)) )=(nθ^2)/((n+1)^2 (n+2))
不過我自己證明出來的結果卻差很大 結果如下:
Var(X_((k) ) )=(-k^2+kn+k)θ^2/((n+1)^2 (n+2))..............(3)
剛開始我以為我運算錯誤 不過反覆算了幾遍結果還是一樣
後來我把k=1與k=n直接帶入(3)式 結果卻又跟(2)式相同
如果我證錯就證錯了 為什麼帶進去結果又合阿?
所以在這個題型下的第k個順序統計量變異數到底為何???
PS:抱歉 因為我身邊沒有統計的參考書籍 另外因為題目也沒問變異數
是我自己好奇去算的 因此也沒解答可以參考 所以就上來問了
希望有板友能不吝賜教 感謝~
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◆ From: 140.123.215.24
※ 編輯: whitejay 來自: 140.123.215.24 (01/28 03:05)
1F：推 ksherry:第k個順序統計量是beta分配 (k , n-k+1) 01/28 11:14
2F：→ ksherry:如果是U(0,1) 怎麼會有θ ? 01/28 11:15
3F：→ whitejay:XD 打太快 是U(0,θ) 01/28 11:30
4F：→ yhliu:因為群體的分布(uniform分布)是對稱的, 因此, 對稱位置的順 01/28 12:25
5F：→ yhliu:序統計量會有相同的變異數, 即 Var(X_(k)) = Var(X_(n+1-k)) 01/28 12:26
6F：→ yhliu:事實上 X_(k) 與 X_(n+1-k) 的 p.d.f. 圖形會對稱於群體平均 01/28 12:27
7F：→ whitejay:所以如果位置不對稱 變異數就會不同?? 這樣不就變成一個 01/28 13:11
8F：→ whitejay:分配會有許多不同變異數的情況??? 01/28 13:11
9F：→ goshfju:那是不同的分配阿... 01/28 15:43