作者mantour (朱子)
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標題Re: [問題] 關於均勻分配的變數變換
時間Sat Dec 12 14:52:19 2009
※ 引述《dadayaki (DADA)》之銘言：
: 若X和Y均服從均勻分配(0，1)
: X和Y獨立
: 則X/Y和XY的PDF為何?
可以先求C.D.F.再微分
設Z = X/Y
1 y*z
FZ(z) = P(X/Y <= z) = ∫ ∫ fX(x)fY(y) dx dy
y=0 x=0
其中 fX(x) = 1, if 0<=x <=1
= 0, otherwise
fY(y) = 1, if 0<=y <=1
= 0, otherwise
所以要討論
if z <= 0
FZ(z) = 0
if 0< z < 1
1 y*z
FZ(z) = ∫ ∫ 1*1 dx dy
y=0 x=0
= 1/2 z
if z >= 1
1 1 1 y*z 1/z y*z
FZ(z) = ∫ ∫ 1*1 dx dy + ∫ ∫ 1*0 dx dy + ∫ ∫ 1*1 dx dy
1/z 0 1/z 1 0 0
= 1-1/z + 0 + 1/(2z) = 1 - 1/(2z)
因此Z的p.d.f為
fZ(z) = 1/2 , if 0<z<1
= 1/2(z^2) , if z >= 1
= 0 , if z <= 0
令 W = X*Y
1 w/y
FW(w) = P(X*Y <= w) = ∫ ∫ fX(x)*fY(y) dx dy
y=0 x=0
if w <= 0, FW(w) = 0
w 1 w w/y
if 0<w<1, FW(w) = ∫ ∫ 1*1 dx dy + ∫ ∫ 1*0 dx dy
y=0 x=0 y=0 x=1
1 w/y
+∫ ∫ 1*1 dx dy
y=w x=0
= w - w ln w
if w>=1 , FW(w) = 1
=> fW(w) = - ln w = ln (1/w) , if 0 < w < 1
= 0 , otherwise
: 若X服從均於分配(-2，1)
: Y=|X|
: 則Y之PDF為何?
原po可用類似方法練習寫出算式看看
: 謝謝
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1F：推 dadayaki:多謝大大辛苦解題> < 感激阿!!! 12/12 15:00
2F：推 dadayaki:不過不懂範圍是怎找的= = 這題我是用褶合公式算的 12/12 15:23
3F：→ dadayaki:XY那題答案跟你一樣 但X/Y那題 我少了0<Z<1的PDF 12/12 15:25
4F：→ dadayaki:大大可以幫我解惑嗎@@ 連圖形都不知道怎畫= = ... 12/12 15:26
5F：→ mantour:不是只要考慮 y*z 會不會超過1就好了嗎 12/12 17:06