作者SONGya168 (伃*是大正妹)
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標題[問題] 獨立性質的一題證明
時間Sun Oct 11 16:48:11 2009
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Dear all,
有一題證明想要請問大家:
X ~ N(μ,Σ)
Y = a'X, Z = b'X 要證明 Y, Z是獨立的若且唯若(iff) a'Σb = 0
其中, a, b, X, Y, Z 都是colume vector
X1
X2
X = [ ︰ ]
Xm
a'代表a的轉置=>行向量變成列向量;Σ是Cov(Xi,Xj)=E(XiXj)-E(Xi)E(Xj)
以下是我的想法:
(1) Y, Z are independent "=>" a'Σb = 0
(利用Y, Z 獨立 => Cov(Y,Z)=0的特性去證明"=>")
Var(X) = E(XX')-E(X)E(X') = Σ
"Var(r) = E(r^2)-[E(r)]^2"
Cov(Y,Z)
= Cov(a'X,b'X)
= E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}
"Covariance的定義"
= E[Y．Z'-Y．E(Z')-E(Y)．Z'+E(Y)．E(Z')]
"行向量要相乘必須把後面轉置成列向量"
= E(Y．Z')-E(Y)．E(Z')
"E[Y．E(Z')] = E(Y)．E(Z')"
= E[a'X．(b'X)']-E(a'X)E[(b'X)']
= E(a'X．X'b)-E(a'X)E(X'b)
= a'[E(XX')-E(X)E(X')]b = a'Σb
"if Y, Z are independent"
= a'[E(X)E(X')-E(X)E(X')]b
= a'0b = 0 ∴if Y, Z are independent, we can prove that a'Σb = 0
(2) Y, Z are independent "<=" a'Σb = 0
a'Σb = a'[E(XX')-E(X)E(X')]b = a'E(XX')b - a'E(X)E(X')b
= E(a'XX'b) - E(a'X)(X'b)
= E(YZ')-E(Y)E(Z')
if a'Σb = 0 then E(YZ')-E(Y)E(Z') must be the form of "E(Y)E(Z')-E(Y)E(Z')"
so that it can equal to 0. thus if a'Σb = 0 "=>" Y, Z are independent.
以上兩個方向的証明是我的想法,請大家能幫我看看有沒有錯誤,或是有正確的解法請
答覆我,謝謝大家
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◆ From: 61.216.9.251
1F：→ casella123:E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]'} "Covariance的定義" 少轉置 10/11 18:37
2F：→ casella123:沒事 看錯 10/11 18:39
3F：→ casella123:Cov(Y,Z)=a'Σb 10/11 18:40
4F：→ casella123:= a'[E(X)E(X')-E(X)E(X')]b 這是錯的 10/11 18:40
5F：→ casella123:X之間不會獨立 10/11 18:41
6F：→ casella123:所以(1)只要寫到Cov(Y,Z)=a'Σb就夠了 10/11 18:43
7F：→ casella123:至於(2)的話，完整應該從獨立的定義下手 10/11 18:45
8F：→ SONGya168:所以(1)只需要說 y,z獨立 => cov(x,y)=a'Σb=0就好了嗎 10/11 20:45
9F：→ SONGya168:請問(2)有錯嗎 10/11 20:49
10F：→ yhliu:covariance=0 不必然獨立. 10/11 22:05
11F：→ yhliu:又: 證明 covariance=0 不必那麼複雜. 10/11 22:06
12F：→ SONGya168:我知道說如果非線性的話,covariance=0不一定獨立 10/11 22:08
13F：→ SONGya168:只是如果要證明 <=只是如果要證明此方向的話,該怎麼辦 10/11 22:10
14F：→ yhliu:不是線性非線性的問題. 10/12 10:09
15F：→ yhliu:請先證明 Y 與 Z 聯合服從 BVN. 因此 covariance=0 <=> 獨立 10/12 10:10
16F：→ yhliu:其次導出 cov(Y,Z) 公式, 即得證. 10/12 10:11
17F：→ SONGya168:謝謝各位^^ 10/13 01:05