作者hyekyo0608 (魚)
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標題Re: [機率]一題用mgf法證明獨立的問題
時間Sun Mar 23 22:02:40 2008
※ 引述《brucejune (...)》之銘言：
: X→P(λ) 及Y|X=k→B(k,p)
: 要證明Y與(X-Y)相互獨立
: 解答是用mgf法證明
: 不過有些步驟看不太懂(= 的地方)
: <sol>
: M_Y, X-Y(t1,t2)
: =E(exp((t1)Y+(t2)(X-Y)))
: =EE(exp((t1)Y+(t2)(X-Y)|X)
: =E((exp(t2)X)E(exp(t1-t2)Y)|X))
: =E[p*exp(t1)+(1-p)exp(t2)]^(X)
: =exp(λ(p*exp(t1)+(1-p)exp(t2)-1)
: .
: .
: .
: .
: 省略
: ===========================================
: 不太會用bbs打數學符號
: 請見諒~~
M_Y, X-Y(t1,t2)
: =E(exp((t1)Y+(t2)(X-Y)))
: =EE(exp((t1)Y+(t2)(X-Y)|X)
:這裡是雙重期望值的部份
我先算裡面 E(exp((t1)Y+(t2)(X-Y)|X) 這個部份
把裡面整理後=E(exp(t2)X+exp(t1-t2)Y|X)
=exp(t2X)+E(exp(t1-t2)Y|X)
=exp(t2X)+[p exp(t1-t2)+(1-p)]^(X)----後面是Y|X~B(X,p)的mgf 此時的t=t1-t2
=[exp(t2)*( p exp(t1-t2)+(1-p) )]^(X)
=[ p exp(t1)+(1-p)exp(t2) ]^(X)
所以E E(exp((t1)Y+(t2)(X-Y)|X)
=E [ p exp(t1)+(1-p)exp(t2) ]^(X)
=E[exp(X * ln[ p exp(t1)+(1-p)exp(t2)] )]-----轉成mgf的形式 此時的t=ln[ p exp(t1)+(1-p)exp(t2)]
=exp(λ*exp(ln[ p exp(t1)+(1-p)exp(t2)])-1)----X~Poi(λ)的mgf
=exp(λ(p*exp(t1)+(1-p)exp(t2)-1)
應該就是這樣了!
也是第一次用bbs打數學符號
希望你看的懂!!
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1F：推 brucejune:感謝^^ 03/24 00:11