題目為: Xi i.i.d. U(0,θ) , 0<x<θ , i = 1,2,3,4 Construct a 95% confidence interval for θ. 以下是我解答 ∵Xi i.i.d. U(0,θ) ∴Xi/θ i.i.d. U(0,1) 令Y4 = Max(X1,X2,X3,X4) Y4 令Q = ---- 服從 Beta(4,1) , 其分配與參數θ無關 , 為pivotal quantity θ Y4 0.95 = P( a <= Q <= b ) = P( a <= ---- <= b ) θ Y4 Y4 = P( ---- <= θ <= ---- ) b a b 其中a,b滿足∫f(t)dt = 0.95 , 其中的f(t)為Beta(4,1)之p.d.f. a b b |b ==> ∫f(t)dt = ∫ 4t^3 dt = t^4 | = b^4 - a^4 = 0.95 a a |a Y4 Y4 則 95% C.I. for θ 為 ( ---- , ---- ) , 其中b^4 - a^4 = 0.95 b a 因為題目沒有要求最短區間,是不是算到以上即可?這是我第一個問題 若是要算最短區間長的時候 令 b = b(a) 為a的函數 , 區間長度 L = Y4 (1/a-1/b) -1 1 db 將L對a微分 , 令其值為 0 ==> Y4 ( ----- + -----。---- ) = 0 a^2 b^2 da -1 1 db ==> ----- + -----。---- = 0 a^2 b^2 da db b^2 ==> ---- = -----　　－－－ (一) da a^2 再將 b^4 - a^4 = 0.95 , 也對a微分 db ==> 4b^3 ---- - 4a^3 = 0 da db a^3 ==> ---- = ----- －－－ (二) da b^3 將(一)式與(二)式解聯立求得 a^5 = b^5 , 最後 a = b 無意義 然後老師有提到當最短區間無法求算時 可以求雙尾機率求 , 但是就我知道可以查表有 Z , t , 卡方 , F 分配 但是我不知道該如何將 Beta(4,1) 轉成可以查表的分配 以上是我第二個問題 我已經想到快不知道該怎麼辦了 我很懷疑是不是我在鑽牛角尖呢!! 煩請大大幫我解惑! --

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