作者mangogogo (mangogo)
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標題Re: 請問單邊Chebyshev不等式
時間Thu Nov 2 09:15:48 2006
※ 引述《[email protected] (開始懷疑了>"<)》之銘言：
: 原本的不等式是P(!X-u!<k*σ)=1-(1/k)^2
: 但是當E(x)=0時，就要用單邊不等式
: 請問那個單邊的Chebyshev不等式是怎推導出來的
one-side chebyshev inequality
if E[X]=0 and Var[X]=σ^2<∞
σ^2
P(X≧x)≦---------- , x>0
x^2+σ^2
x^2
≧---------- , x<0
x^2+σ^2
------------------------------------------------------------------------------
first prove the inequality when x>0
proof
Let g(t)=(t+c)^2 , c>0
if X≧x => g(X)≧g(x)
E[g(X)] E((x+c)^2) σ^2+c^2
P(X≧x)≦P(g(X)≧g(x))≦--------=------------=---------
g(x) (x+c)^2 (x+c)^2
σ^2+c^2 σ^2
inf --------=----------- when c=σ^2/x using calculus
c>0 (x+c)^2 x^2+σ^2
proved
by the same method ,we can prove the inequality when x<0
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