作者cyshen (喔喔喔)
看板Statistics
標題Re: [問題] 求分配
時間Sun Sep 24 14:02:11 2006
※ 引述《[email protected] (老怪物)》之銘言：
: ※ 引述《[email protected] (喔喔喔)》之銘言：
: > 有幾個求分配的題目想請教一下
: > 1.Suppose that f(x,y)=1 for 0<x<1, 0<y<1 and =0 otherwise. Obtain f(x│X<Y).
: > f(x│X<Y) = f(x,x<y)/f(x<y)
: > 請問f(x,x<y)該怎麼求呢?
: 沒有這種符號!
F(x│X<Y) = P(X=<x│X<Y) = P(X=<x)/P(X<y)
又fx(x)=1, 0<x<1
=> P(X=<x)/P(X<y) = x/y
=>F(x│X<Y) = x/y
dF/dx = 1/y
=>f(x│X<Y) = 1/y, 0<x<y
: > 2.Let X and Y be independent and distributed as N(μ,1) and as N(0,μ),
: > respectively, where μ>0. Derive the asymptotic variance of the maximum
: > likelihood estimator of μ based on seperate sample of X and Y and combined
: > sample (X1,...Xn , Y1,...,Yn).
: > seperate sample of X: _
: > maximum likelihood estimator of μ = X
: "μ>0"!
: 事實上, 題目有 bug! "μ>0" 的 MLE 不一定存在, 應修
: 正為 "μ≧0".
: > _
: > Var(X) = σ^2/n
: > 我不懂為什麼題目要加上一個asymptotic
: > 和直接問variance of maximum likelihood estimator of μ有什麼不同?
: 只怕正確的 variance 沒那麼容易!?
這我還是不懂
X->N(μ,1)
fx(x) = (2π)(-1/2)exp{-(x-μ)^2}
L(μ) = (2π)(-n/2)+exp{(1/2)[-(x-μ)^2]}
lnL(μ) = (-n/2)ln(2π)-(1/2)Σ(x-μ)^2
dlnL(μ)/dμ = Σ(x-μ) = 0
Λ _
=> μ = X
_
所以X不就是MLE嗎?
我也不懂為什麼一定要μ≧0呢?
: > 3.Let X1,...,Xn be independent random variables, each with the exponential
: > distribution:P(X>=x)=e^(-αx), x>=0. Put X(n)=max{X1,...Xn}. and
: > bn=α^(-1)logn. What is the limiting distribution of X(n)-bn?
: > 令Yn = max{X1-bn,...,Xn-bn}
: > Yn的cdf => F(y) = P(Yn=<y) = P[(X1-bn)=<y,...,(Xn-bn)=<y]
: > = [Fx(y+bn)]^n = {1-e^[-α(y+bn)]}^n
: > = {1-e^[-α(y+α^(-1)logn)]}^n
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
完全看不出來是什麼分配...
: > 當n->∞,...我就卡住了,看不出來極限分配是什麼...?
: 再用心想想!
: > 4.Let the i.i.d. sequence{Xi} with pdf f(x)=2x^(-3), 1=<x<∞, Could we find
: > _
: > the probability limit of X?
: 甚麼是 "the probability of ..."?
這是接在"Convergence in probability"後面的題目
所以應該就是指
_
limP(│X - x│<ε) = 1
n
_
但是我不知道該怎麼求出X的pdf
以前學過的Jacobian最多處裡兩個變數
不知道是不是要用別的方法來求?
: > _
: > 我的想法是先找出X的pdf
: > _
: > X=(1/n)(X1+...+Xn)
: > 我學過的Jocobian轉換法
: > 好像沒辦法處裡這個問題
: > 不知道該用哪一種方法比較好?
: > 煩請指教~謝謝^^
感謝~~
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