作者davidlhs (小信)
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標題Re: [問題] 用最大概似法證明
時間Wed May 24 01:09:34 2006
※ 引述《ysean (天佑 )》之銘言：
: 已知Y=βX+εi i=1,2,3,...,n
: 試最大概似法
: 證明
: β的估計量不偏
: 希望各位大大看的懂我的意思
: 謝謝各位大大
: Hint:Y為具有expect value BiXi 且具有alpha^2的常態分配
Y=βX+εi, E(Y)=βX, 且V(Y)=α^2 (你確定是α, 不是σ? 當然啦, 那只是個代號...)
令γ=α^2, 則Y~N(βX,α^2), YN(βX,γ)
1 - (Y-βX)^2
其p.d.f. ──── exp{ ─────── }
√(2πγ) 2γ
1 - (Y-βX)^2
概似函數L(β,γ)=Π ───── exp{ ─────── }
√(2πγ) 2γ
- Σ(Y-βX)^2
= [ (2πγ)^(-n/2) ] * exp{ ──────── }
2γ
n 1
則 ln L(β,γ) = - ── ln (2πγ) - ── Σ(Y-βX)^2
2 2γ
對參數 β 與 γ 偏微分, 並令其結果為0, 則: (本題沒有截距項)
2
- ── Σ [ -X (Y-βX) ] = 0
2γ
n*2π 1
- ───── + ─── Σ(Y-βX)^2
2*2πγ 2γ^2
^ ΣXY
ΣXY=Σβ X^2 → β = ────
ΣX^2
^ ΣX (βX+εi) β ΣX^2
E(β) =E [ ─────── ] = E [ ───── ] =β
ΣX^2 ΣX^2
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◆ From: 203.67.54.247
1F：推 ysean:符號看錯SORRY 05/24 01:14