※ 引述《WANG3213 (WANG3213)》之銘言： : ※ 引述《taldy ()》之銘言： : : U1,U2,...~iid U(0,1) : : 設N為一個隨機變數,其值為0,1,2... : : n n+1 : : 定義N=n iff Π Ui >_ e^(-λ) > Π Ui : : i=1 i=1 : : 求N的分佈 把過程寫完整好了........ n n+1 P(N=n) = P(Π Ui ≧ e^(-λ) ＞ Π Ui) By 題目的定義 i=1 i=1 n n+1 = P(Σ -log(Ui) ≦ λ ＜ Σ -log(Ui)) By part a i=1 i=1 n n+1 = P(Σ Xi ≦ λ ＜ Σ Xi) Xi iid follow exp(1) for i=1~n+1 i=1 i=1 n = P( Gn ≦ λ ＜ Gn + Xn+1) Gn = Σ Xi ~ gamma(n,1) i=1 = P( Gn ≦ λ and Gn + Xn+1 ＞ λ) 注意到 Gn 與 Xn+1 仍然獨立， 接下來你可以用圖解 Gn 與 Xn+1 的範圍或條件機率的方式把答案求出來。 方法一： 原式 = P( Gn ≦ λ) - P( Gn + Xn+1 ≦ λ) 注意到 Gn + Xn+1 ~ gamma(n+1,1) λ 1 n-1 -x λ 1 n -x = ∫ ----- x e dx - ∫ ------- x e dx 使用分部積分 0 Γ(n) 0 Γ(n+1) 1 n -λ 1 n -λ = ------- λ e = --- λ e Γ(n+1) n! 方法二： λ 原式 = ∫ P( Gn = y and Gn + Xn+1 ＞ λ) dy 0 λ = ∫ P( Gn + Xn+1 ＞ λ | Gn = y ) P( Gn = y )dy 0 λ = ∫ P( Xn+1 ＞ λ- y | Gn = y ) P( Gn = y )dy 0 λ = ∫ P( Xn+1 ＞ λ - y) P( Gn = y )dy 0 λ -(λ-y) 1 n-1 -y = ∫ e ----- y e dy 0 Γ(n) λ 1 n-1 -λ = ∫ ----- y e dy 0 Γ(n) 1 n -λ λ = ------- y e | n*Γ(n) 0 1 n -λ 1 n -λ = ------- λ e = --- λ e 以上好像沒啥好說的 Γ(n+1) n! -λ 還有， N=0 時， P( G0 ≦ λ) = 1，要另外算，得 P(N=0) = e 所以 N ~ Poisson(λ) -- ．﹒‧∴＊˙﹒ ★ 甜。心。小。北。鼻 ＊ ◢◣◢◣ http://www.wretch.cc/album/u504053 ．﹒‧ ◥██◤ ◥◤ 統。計。生。活。館 ＊ http://home.educities.edu.tw/rebecca0924/ --

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