作者josephw (rhythm)
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標題Re: [問題] 請教一題中央考古題
時間Thu Mar 9 21:43:19 2006
※ 引述《bagacelia (...........)》之銘言：
: Let Xi be independent N(μ,σi^2)，i=1,..n
: (σ1^2,..,σn^2 may not be all equal)
: If Y=Σ(Xi/σi)/Σ(1/σi)，Z=Σ｛〔(Xi-μ)/σi〕-〔(Y-u)/n〕Σ(1/σi)^2｝
: (註：Σ皆代表i由1累加至n)
: Show that (a)Y and Z are independent
: (b)Z～χ^2(n-1)
: ↑
: (表：chi-square distribution,degree n-1)
題目有打錯: Z=Σ｛〔(Xi-μ)/σi〕-〔(Y-u)/n〕Σ(1/σi)｝
^2
〔(Y-u)/n〕*Σ(1/σi) = (1/n)*Σ[(Xi-μ)/σi];令 Ti=(Xi-μ)/σi
iid
= (1/n)*ΣTi ; 其中Ti---->N(0,1) i=1,...,n
=> Z = Σ(Ti - (1/n)*ΣTi )^2
= ΣTi^2 - (1/n)*(ΣTi)^2
=> ΣTi^2 = Z + (1/n)*(ΣTi)^2
其中 ΣTi^2 -->χ^2(n) (1/n)*(ΣTi)^2 -->χ^2(1)
by
Cochran theorem 可知
Z-->χ^2(n-1) 且 Z與 (1/n)*(ΣTi)^2 相互獨立
又 (1/n)*(ΣTi) =〔(Y-u)/n〕Σ(1/σi)
所以 Z 與 Y 亦相互獨立
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有錯請指教!
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人老去，西風白髮；蝶愁來，明日黃花
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◆ From: 219.91.113.131
※ 編輯: josephw 來自: 219.91.113.131 (03/09 22:40)