作者mikapauli (桜花)
看板Rubiks
標題[心得] 讓完全新手參考用的2階魔術方塊解法
時間Mon Nov 25 20:00:22 2024
前言
起因是有完全沒接觸過魔術方塊的新手，想從最簡單的2階魔術方塊開始學起。
所以就用了我覺得最好理解的解法，寫下這篇內容當做教材，
順便貼上來和板友分享。雖然還沒實際拿去教XD
也非常歡迎大家任何的意見交流，畢竟這教法可能還有不少改進空間。
第1步：2階魔術方塊的等價表示
對於2階(2 ×2 ×2)魔術方塊的相對兩面，它們的轉動是等價的。
因此可以選定8塊方塊中的1塊方塊為基準，將它放到後方，其他3面7塊方塊朝前，
之後只轉動朝前的3面，如下圖所示。
https://imgpoi.com/i/XRKIVD.png
以後都將像下圖這樣，把轉動2階魔術方塊簡化為7格方塊在3條軌道上輪轉。
https://imgpoi.com/i/XRKLAV.png
第2步：完成後方3格
當1塊方塊移動時，只要它沒有透過不同軌道進出下圖黑色的中央位置，
https://imgpoi.com/i/XRKFXE.png
那麼當它回到出發點時就會維持與一開始相同的方位；反之則可以旋轉它。
因此已經排好的方塊只要不進入中央位置，在需要避讓時還是可以被移動一下。
透過這個原則便可以很容易完成下圖黑色的後方3格，
https://imgpoi.com/i/XRKJIB.png
把正確位置在這裡的方塊移過來並轉到正確方位。
第3步：移動前方4格
這裡把已經完成的後方3格分別標示為x、y、z，
還沒完成的前方4格分別標示為a、b、c、d，如下圖所示。
https://imgpoi.com/i/XRK65G.png
遵循之前的原則，
首先要在不讓x、y、z進入中央位置的條件下把a、b、c、d移到正確位置。
滿足這個前提的轉法有很多，最簡單的像是：
1. x朝向z（往b）轉1格；
https://imgpoi.com/i/XRKDC9.png
2. y朝向z（往a）轉1格；
https://imgpoi.com/i/XRK2P5.png
3. x轉回原位；
https://imgpoi.com/i/XRKMVM.png
4. y轉回原位。
https://imgpoi.com/i/XRZ5A2.png
轉完後a、b的位置互換，c、d的位置也互換。
這個轉法之後可以用到，把它記為[z←x, z←y]，
表示x先朝向z然後y朝向z轉，之後也是先x後y復原。
因此[z←y, z←x]就是[z←x, z←y]的反轉，
其他像[y←z, y←x]、[x←y, x←z]也都是這類轉法，
其實活用它們就有辦法解完2階魔術方塊了。
這篇文章裡用中括號框起來所代表的轉法最後x、y、z都會回到原位。
[z←x, z←y]對a、b、c、d的移動可以用輪換符號寫成(ab)(cd)。
可以記憶為目的地z正下方的兩格互換，旁邊兩格也互換，
同理[y←z, y←x]對應(ac)(bd)，[x←y, x←z]對應(ad)(bc)。
數學物件：置換
由於開始用到了輪換符號，並且後面會使用置換運算來移動前方4格，
因此先花了一些篇幅在這邊做個簡單介紹，如果對置換熟悉的話可以先跳過這段。
一些元素位置掉換的動作被稱為置換，
並且多個置換能藉由依序執行各自的移動結合成1個新的置換。
而像上面a、b、c、d所有的移動方式搭配置換的結合構成了4階置換群S4。
置換能透過輪換符號來表示，例如(abcde)代表a←b←c←d←e←a這個移動，
並且(bcdea)、(cdeab)、(deabc)、(eabcd)也都等於是這個移動的寫法；
而(aedcb)就是(abcde)的反置換，代表反過來的移動a→b→c→d→e→a。
(ab)這種2階輪換代表2個元素交換，反置換就是(ab)本身。
另外像是置換(abc)、(bcd)的結合寫成(abc)(bcd)，先執行寫在前面的移動。
S4總共有24個置換，包含：
空置換1個，()，代表沒有任何移動，而像(a) = a←a這種也等於空置換
2階輪換共6個，(ab)、(ac)、(ad)、(bc)、(bd)、(cd)
互斥2階輪換的結合共3個，(ab)(cd)、(ac)(bd)、(ad)(bc)，元素兩兩交換
3階輪換共8個，(abc)、(abd)、(acb)、(acd)、(adb)、(adc)、(bcd)、(bdc)
4階輪換共6個，(abcd)、(abdc)、(acbd)、(acdb)、(adbc)、(adcb)
顯然S4中所有置換都能寫成2階輪換的結合，畢竟所有移動都能透過元素兩兩交換達成。
觀察一些置換的結合，例如：
(ab)(abcd) = (a←b←a)(a←b←c←d←a) = b←c←d←b = (bcd)
(abcd)(ab) = (a←b←c←d←a)(a←b←a) = c←d←a←c = (cda) = (acd)
(cd)(abcd) = (cd)(cdab) = (dab) = (abd)
也能得到
(abcd)
= (ab)(bcd) = (ab)(bc)(cd)
= (acd)(ab) = (ad)(ac)(ab)
= (cd)(abd) = (cd)(bd)(ad)
但3階輪換就無法組合出2階輪換或4階輪換，這點可以用3階輪換屬於偶置換，
而2階輪換與4階輪換屬於奇置換來說明。再觀察更多置換的結合：
(abcd)^2 = (a←b←c←d←a)(a←b←c←d←a) = (a←c←a)(b←d←b) = (ac)(bd)
(ac)(abcd) = (a←c←a)(a←b←c←d←a) = (a←b←a)(c←d←c) = (ab)(cd)
(abcd)(ac) = (a←b←c←d←a)(a←c←a) = (a←d←a)(b←c←b) = (ad)(bc)
可以得到像是 (ac) = (acbd)^2 (adcb) 之類的等式，
藉此能發現S4中的置換也都可以寫成4階輪換的結合。
最後下面這類4階輪換與3階輪換的結合之後也會用到：
(abc)(abcd) = (a←b←c←a)(a←b←c←d←a) = a←c←d←b←a = (acdb)
(abcd)(abc) = (a←b←c←d←a)(a←b←c←a) = a←c←b←d←a = (acbd)
第3步(續)：移動前方4格
回到2階魔術方塊，
https://imgpoi.com/i/XRK65G.png
除了[z←x, z←y]、[y←z, y←x]、[x←y, x←z]這類轉法，
另一種不讓x、y、z進入中央位置的轉法是：
1. x朝向y（往c）轉1格；
https://imgpoi.com/i/XRZ9XD.png
2. y帶著x朝向z（往a）轉1格；
https://imgpoi.com/i/XRZGIV.png
3. 此時a、c、b、d便能隨意轉動，分別對應(acbd)、(acbd)^2 = (ab)(cd)、
(acbd)^3 = (adbc)；
https://imgpoi.com/i/XRZB5E.png
4. 復原。
https://imgpoi.com/i/XRZACB.png
https://imgpoi.com/i/XRZRPG.png
這裡把這個轉法記為[y←x, z←y]，表示一開始x先朝向y然後一起朝向z轉，
預設如圖中只在步驟3逆時針轉1格，得到對應關係
[y←x, z←y]：(acbd)、[y←x, z←y]^2：(ab)(cd)、[y←x, z←y]^3：(adbc)
同理
[x←z, y←x]：(cbad)、[z←y, x←z]：(bacd)
這種轉法很容易在途中看出對應的4階輪換，可以不用特別去記憶。
或是用從中央出發的前2步移動判斷第1轉。
觀察a、b、c、d從正確位置到目前位置的移動：
1. 若是(abc)這種3階輪換，
順著相同方向做1次4階輪換如[y←x, z←y]^3：(adbc)變為4階輪換(adcb)接3.，
方向相反也沒關係就變為2階輪換接2.；
2. 若是(ab)這種2階輪換，
做1次[y←z, y←x]：(ac)(bd)變為4階輪換(dacb)
或[x←y, x←z]：(ad)(bc)變為4階輪換(cadb)接3.；
3. 若是(abcd)這種4階輪換，做1次反置換[x←z, y←x]：(dcba)變為空置換；
4. 若是(ab)(cd)這種兩兩交換，做1次[z←x, z←y]：(ab)(cd)變為空置換。
這樣移動前方4格就完成了。
第4步：旋轉前方4格
此時a、b、c、d每1格處於
方向正確、逆時針方向自轉1格、或順時針方向自轉1格3種狀態之1。
觀察轉2次[z←x, z←y]，此時a、b、c、d都沒有移動，
但a、b原地逆時針轉動了1格，c、d原地順時針轉動了1格，記為a+b+2c+2d。
可以使用與前面相同的記憶法：z正下方的兩格往同一邊轉，旁邊兩格往另一邊轉。
a、b、c、d每1格的自轉可以用3階循環表示，分別構成3階循環群C3，
共同記為pa+qb+rc+sd。
亦即逆時針方向轉動2格等於順時針方向轉動1格，
順時針方向轉動2格等於逆時針方向轉動1格，
而逆時針方向轉動3格或順時針方向轉動3格便回到原方向。
因為循環群是交換群，所以處理起來會比較簡單，只要把循環抵銷就好不用在意先後。
另外由於轉動2階魔術方塊時的不變性，沒辦法只單獨旋轉其中1塊方塊。
也就是在第3步魔術方塊的所有狀態為S4 ×C3 ×C3 ×C3，在第4步為C3 ×C3 ×C3。
觀察a、b、c、d從正確方向到目前方向的自轉，此時除了完全正確的情況，
其他的可能性只有：
1. 某3格往同方向自轉，例如a+b+c，
隨便選1個轉法例如[z←x, z←y]^2：a+b+2c+2d，
[z←x, z←y]轉2或4次變為2c+d接2.；
2. 某1格往逆時針轉，另1格往順時針轉，例如a+2b，
選1個轉法讓這2格往反方向自轉，例如[y←z, y←x]^2：a+2b+c+2d，
[y←z, y←x]轉2或4次變為2a+b+c+2d接3.；
3. 某2格往逆時針轉，另2格往順時針轉，例如a+b+2c+2d，
一直轉對應的轉法[z←x, z←y]^2：a+b+2c+2d就可以。
2階魔術方塊到這裡便解完了！
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1F：推 Huntermagic: 撇開不是用目前通用的notation撰寫比較難閱讀，我覺 11/26 14:07
2F：→ Huntermagic: 得這是一個可理解但新手不算容易觀察/學習的解法 11/26 14:07
3F：推 Huntermagic: 先P (permutation)後O (orientation)的解法在pattern 11/26 14:29
4F：→ Huntermagic: recognition上其實是比較不容易的，80年代的Nourse 11/26 14:29
5F：→ Huntermagic: method這樣處理3x3第三層的角，但大部分更新更主流的 11/26 14:29
6F：→ Huntermagic: 解法幾乎都是先O後P 11/26 14:29
觀察的話我會以白(黑)綠橘塊為基準，完成白綠、綠橘、橘白後剩下4塊就用有白色、有
綠色、有橘色、只有紅黃藍來追蹤。轉動時也主要看白綠橘來判斷順逆時針，紅黃藍那塊
就看後方3塊朝前的那面。當然也可以直接推論。
7F：推 Huntermagic: 這個解法如果要再擴展，第一應該是開放把UBL角用頂層 11/26 14:48
8F：→ Huntermagic: 任一角取代，最後再adjust U face，再來就是第一步不 11/26 14:48
9F：→ Huntermagic: 做頂角只做底層三角，從L4C改成L5C，這方面可以變的 11/26 14:48
10F：→ Huntermagic: 就更多 11/26 14:48
11F：推 Huntermagic: 如果單純考慮讓新手能快速學會自己轉出來，那其實精 11/26 14:51
12F：→ Huntermagic: 簡的LBL應該已經足夠簡單 11/26 14:51
13F：→ mikapauli: 感謝建議！不過我對方塊解法還瞭解得不多，這篇解法也 11/26 18:22
14F：→ mikapauli: 是我自己瞎想的，因為感覺流程很順之後也一直在用。 11/26 18:22
15F：→ mikapauli: 也因此中間擴展那段不太清楚你的意思。就我的看法高階 11/26 18:23
16F：→ mikapauli: 方塊角塊也是最難的，其他稜和面一塊塊搬就好，所以 11/26 18:23
17F：→ mikapauli: 感覺也沒有擴展的需要？ 11/26 18:23
18F：推 Huntermagic: 一般速解法裡面高階最後幾乎都是降階成3x3處理，所以 11/26 21:33
19F：→ Huntermagic: 角的做法基本不會脫離3x3的考量，並沒有因為高階特別 11/26 21:33
20F：→ Huntermagic: 困難 11/26 21:33
21F：→ Huntermagic: 降階以5x5為例，就是把三塊小邊組成一個大塊的邊，每 11/26 21:38
22F：→ Huntermagic: 一面中間的9塊小中心塊拼成一塊大塊的中心，轉變成3x 11/26 21:38
23F：→ Huntermagic: 3再解回來 11/26 21:38
25F：推 Huntermagic: 擴展那部分是說這個解法可以怎麼樣更進階更通用。以 11/26 22:03
26F：→ Huntermagic: 你有標號的第一張圖為例，現階段你的第一步是要靠自 11/26 22:03
27F：→ Huntermagic: 己直觀轉出xyz。今天我們可以容許不做z，改成將同樣 11/26 22:03
28F：→ Huntermagic: 是頂層的a、b或d放在z的位置，接下來做完剩下四塊後 11/26 22:03
29F：→ Huntermagic: 再將頂層轉90或180度歸位即可。這樣你的第一步就會更 11/26 22:03
30F：→ Huntermagic: 靈活，在2x2的架構下會有很多步驟省略的機會。再來既 11/26 22:03
31F：→ Huntermagic: 然已經摸索得到一些換前方四角的公式，那一定也可以 11/26 22:03
32F：→ Huntermagic: 更靈活把z也加進去，這樣第一步只需要做x和y就好(VOP 11/26 22:03
33F：→ Huntermagic: method就是這樣，在底層做一個V，之後處理剩下的五 11/26 22:03
34F：→ Huntermagic: 個角，不過他是先O再P，也就是先處理方向再換位置) 11/26 22:03
35F：→ mikapauli: 瞭解！會先把這裡的z做完除了看起來比較對稱外，也是想 11/27 12:30
36F：→ mikapauli: 像上面說的讓方塊的移動和旋轉更容易觀察，或許這就是 11/27 12:32
37F：→ mikapauli: 先P再O的麻煩和限制吧XD 11/27 12:33
38F：推 Huntermagic: 不管是先O再P還是先P再O，後面的步驟為了不破壞前面 11/27 17:56
39F：→ Huntermagic: 做的東西，在轉法上都會受到限制。只是在辨認方面，O 11/27 17:56
40F：→ Huntermagic: 可以只觀察一種或一對顏色（2x2以頂面黃/底面白為例 11/27 17:56
41F：→ Huntermagic: ，只要看黃/白色塊是否朝上/下就可知方向是否正確） 11/27 17:56
42F：→ Huntermagic: ，先O之後，P只要觀察側邊顏色的排列花樣即可簡單辨 11/27 17:56
43F：→ Huntermagic: 認。在一般速解的情況下對人比較友善的觀察其實是辨 11/27 17:56
44F：→ Huntermagic: 認顏色排列的花樣，而不是去想實際零件之間應該跑的 11/27 17:56
45F：→ Huntermagic: 位置。 11/27 17:56
46F：→ Huntermagic: 所以先O再P的情況比較普遍，也比較實用。當然很多進 11/27 17:59
47F：→ Huntermagic: 階解法在做的就是把OP一起處理，不只是觀察難度增加 11/27 17:59
48F：→ Huntermagic: ，case/公式量也會大幅提升。 11/27 17:59
49F：推 rehearttw: 神奇的方法。想進到研究領域可以試試 11/28 08:37
※ 編輯: mikapauli (118.166.94.149 臺灣), 11/28/2024 19:30:38