作者terrorlone (星君)
看板Rubiks
標題Re: [閒聊] 好奇...轉方塊的大家
時間Tue May 29 02:53:39 2007
我來稍微解釋一下
首先，魔術方塊的狀態並不是有限體，
而是有限非交換群（finite non-Abelian group）
體一定有兩個運算而且必定滿足交換律，
可是魔術方塊只有一個置換之間的合成運算，
而且明顯不滿足交換律：RU 跟 UR 的結果絕對是不同的。
普遍地，作用在一個物體上的置換群大抵都是不交換的。
不過這不太重要，因為看起來你只是搞混名詞而已。
這於同一種轉法不斷反覆到最後一定會復原，
以最通俗的方式來證明的話，確實只要利用狀態有限這個事實就可以說明。
令考慮的轉法為 A，因為狀態有限，一定遲早會遇到一個之前曾經出現過的狀態，
不妨假設為 A^n 和 A^m，n>m。那麼 A^(n-m) 就必定是不動置換。
不過進一步證明的話，還可以證明復原所需要的次數一定是總狀態的因數。
這是 Lagrange 群定理的一個古典推論。
最後，你提到是否有可能有單一一種轉法能夠生成所有的狀態，
這對有限群一般而言都不存在，包括這邊的魔術方塊在內。
具有這種性質的群稱為循環群（cyclic group），而且極易證明循環群全都是交換群，
因此立刻就知道魔術方塊群不可能是循環群。
至於你提到的與群的狀態數互質的那個概念，
那是在已經假定是循環群的前提下才會成立。
所以：無敵公式是不存在的，別找了……
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.250.203
1F：推 PhySeraph:哩工蝦? 05/29 03:00
2F：→ raytw1986:淺見 3X3是有限體....很早就有人證明了~"~ 循環群~不詳 05/29 03:34
3F：→ raytw1986:數學系的~~~~衝吧..........我土木來亂的 05/29 03:36
4F：→ terrorlone:正如我說的，說它是體打從定義開始就是錯的，絕無可能 05/29 04:13
5F：→ terrorlone:另外，不巧我正好就是數學系的 05/29 04:15
7F：推 rehearttw:推數學系專家！ 05/29 04:33
8F：推 rehearttw:請教「存在一個數值 k，所有可重複循環的次數均為它的 05/29 08:25
9F：→ rehearttw:因數」這個推論，是否在群裡面可以簡易證明？抱歉我忘了 05/29 08:26
10F：→ terrorlone:簡單的說那個 k 就是群的大小 05/29 08:46
11F：→ terrorlone:如果是循環群的話，結論幾乎是顯然的 05/29 08:47
12F：→ terrorlone:一般的情況會稍微多一點，大概證個一兩頁吧 05/29 08:47
13F：推 daleleu:看rubiks版長知識 05/29 09:24
14F：推 rehearttw:我覺得如果是三階方塊，因為並不是循環群，所以這個 k值 05/29 10:05
15F：→ rehearttw:應該小於總 case 數，不過應該存在這樣的 k。我懷疑 k 05/29 10:06
16F：→ rehearttw:會不會等於 1260？（尚待證明...） 05/29 10:07
17F：推 ForeverOrz:推這篇 解釋得很清楚XD 05/29 10:32
18F：推 rehearttw:我剛剛試了一下，k 目前是 5040 05/29 12:17
19F：推 bb511:推這篇 解釋的很清楚 但是哩公蝦~? XD 05/29 12:18
20F：推 bbrret:囧 那樓上在推啥.. 05/29 12:30
21F：推 zarld:u:看rubiks版長知識 05/29 12:36
22F：推 rehearttw:嗯！這是數學系學的代數，在進行計算之前可以確認想法 05/29 12:41
23F：推 PhySeraph: 看rubiks版長知識 05/29 15:18
24F：推 twmstudentkf:阿偉:異類你什麼系的 異類:商用數學系阿~~ 05/29 15:52
25F：推 kerbi:推 數學系+1 難得看得懂 哈哈 05/29 17:22
26F：推 daleleu:rubiks版還有一個交大應數博士的DavidGuo, 真是臥虎藏龍 05/29 17:40
27F：推 SansWord:循環群都是交換群??? 05/30 02:05
28F：推 XII:是的! 06/01 13:47