※ [本文轉錄自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 標題: 非線性的概念、性質及其哲學意義(2) 時間: Mon Oct 18 05:03:07 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 標題: 非線性的概念、性質及其哲學意義(2) 時間: Sun Oct 17 10:32:29 2004 2 非線性的性質 非線性科學正處於發展過程之中，它所研究的各門具體科學中的非線性普適類，有已經形 成的 (如混沌、碎形、孤子)，有正在形成的(如適應性與自組織行為)，還會有將要形成 的，所以非線性的性質還沒有完全呈現出來，這裡也就不可能全面地討論非線性的性質。 下面僅從“非線性與線性的關係”、“非線性的物理機制”和“非線性與穩定性”三個方 面作初步探討。 (1) 非線性與線性的關係 非線性與線性是相對而言的，兩者是一對矛盾的概念，一方面兩者在一定程度上可以 相互轉化，另一方面兩者又存在本質區別，再者兩者同時存在於—個系統中，規定著系統 相應方面的性質。 a. 非線性與線性的密切聯系 首先，在數學上一些線性方程可轉化為非線性方程來解。[3] 物理上的一些非線性問 題， 也可以通過數學變換而轉化為線性方程來研究。如非線性的KdV方程通過散射反演 方法化為線性的可積方程，從而求出了精確的解析解；一些非線性不強的問題，可用線性 逼近方法將其轉化為若干線性問題來求近似解，這是已在各門學科中廣泛採用並相當有效 的的方法。 其次，在某些情況下，由方程得到的解析解並不能提供更多的資訊，無助於更好地理解系 統的行為，而從解的非線性形式中，我們卻可以方便地得到所研究系統的重要性質。如： 考慮這樣一個簡單方程：d^2X/dt^2+X=0，它的解是X=Acos(t)+Bsin(t)，從這個非線性形 式中，我們容易知道它是個周期函數，滿足cos(t+2π)=cos(t)，sin(t+2π)=sin(t)。而 從cos(t)和sin(t)的解析形式： ∞ n 2n cos(t) = Σ (-1) t ／(2n)！ n=0 ∞ n 2n+1 sin(t) = Σ (-1) t ／(2n+1)！ n=0 中，極難證明其具有相應的周期性這一重要性質。[4]所以，認為線性方程可以得到解析 解，非線性方程難以得到解析解，因而線性能給出比非線性更多的有用資訊是不確切的。 這意味著，對某些問題從非線性的角度考察不僅是可能的，而且有時也是必要的。 所以，線性與非線性在一定程度上是可以相互轉化的，這表明了線性與非線性之間有 密切的聯系。 b. 非線性與線性的本質區別 非線性與線性雖然可以通過數學變換而相互轉化，在數學上有一定的聯系，但是在同 一視角、同一層次、同一參照系下，非線性與線性又是有本質區別的。 在數學上，線性函數關係是直線，而非線性函數關係是非直線，包括各種曲線、折線 、不連續的線等；線性方程滿足疊加原理，非線性方程不滿足疊加原理；線性方程易於求 出解析解，而非線性方程一般不能得出解析解。 在物理上，近線性問題(它不是我們所說的非線性問題)可用線性逼近方法求出一定精 確度的解，即依據具體問題對精確度的要求，逐次解出若干個線性問題，把它們疊加起來 ，就能得到很好的近似解。但是對於非線性問題，由於存有小參數發散及收斂慢等問題， 線性逼近方法將失效，特別是對於高速運動狀態、強烈的相互作用、長時間的動態行為等 非線性很強的情況，線性方法將完全無能為力。線性逼近方法的這些局限性，導致非線性 方法的不可替代，在無法用線性方法處理的強非線性的地方，只能用非線性方法。線性逼 近方法並非經常能奏效，這不光是方法論問題，也是自然觀問題，自然界既有量變又有質 變，[5]在質變中，自然界要經歷躍變或轉折，這是線性所不能包容的。 c.非線性與線性在同一系統中的作用 非線性與線性有一定的聯系又有本質區別，它們常同時存在於一個系統之中，規定著系統 不同側面的性質，一個確定的系統，一般都同時具有線性和非線性兩種性質：首先，在一 個給定的非線性系統中，它的非線性性質決定它的平衡構造或說穩定機制是否存在及存在 的地方。其次，系統的線性性質決定著系統關於其平衡點(穩定結構)的小振動的規律， 即系統在穩定點附近的線性展開性質。[6] (2) 非線性的物理機制 相對於非線性的數學表達而言，它的物理機制是更重要的，也是我們更感興趣的。非 線性的物理機制有很多方面，至於哪方面是最根本的，還沒有—致的認識。從非線性的定 義來看，可以把非線性的物理機制表述為：一個測度的變化受到兩個、兩種或更多因素的 聯合影響，換言之就是非—次項的影響。具體的非線性方式決定於參與聯合作用的因素間 聯合作用的方式，如：兩種或多種因素聯合作用，Lorenz吸引子中的X·Z是X與Z的聯合作 用；牛頓第二定律F=ma^2中，a^2= aa 是兩個相同的對人有意義的物理變量a與a的聯合作 用。下面從相互作用、耗散性、有限性、多值性四個方面具體地討論非線性的物理機制。 a. 相互作用 非線性的—個最主要的物理機制，可以說就是相互作用。之所以說世界在本質上是非 線性的，在很大程度上就是由於相互作用的普遍存在，完全孤立的事物是沒有的(即使有 ，在原則上它的存在本身也就包含了它與認識主體——人的相互作用)。實際上，我們遇 到的大都是處於某種相互作用網之中的事物，而任何事物在受其它事物作用、影響的同時 ，也作用於、影響著其它的事物，正如牛頓第三定律所表述的那樣，作用與反作用是同時 存在的，所以，我們要想準確地、深刻地認識一個事物，就要把該系統在其它系統作用下 的行為規律與該系統對其它系統的影響聯合起來考慮。這種雙向的作用—般就出現非線性 項，成為非線性問題。例如：場對粒子運動有作用，粒子的運動也使場發生變化，這時場 方程和粒子運動方程就要聯合起來考察，從而使之成為非線性問題，[7]再如，人與自然 、主體與客體都是雙向作用的關係，原則上都將是非線性問題。 其實，雙向作用的存在必將使其中之一通過對方而作用於自身，從而形成正的或負的 回饋回路，起到放大或抑制的作用，使任何初始變化都會產生不成比例的響應，呈現出非 線性現象。 b. 耗散性 這裡所說的耗散性，是指能推動並維持系統遠離平衡態的耗散性，而不是近平衡區內 較弱的耗散性。 系統對能量的耗散是一個不可逆過程，輸入系統的能量在流經輸入端和輸出端過程中 ，驅動系統做某種單向的不可逆的運動，其間會使子系統間產生非線性連接，實現協同運 動，從而形成宏觀有序狀態。能量在系統內的耗散，相當於為系統內某些運動按了一個“ 泵”，這個泵的作用在很多的情況下，就是系統非線性現象的根源。例如：在Benard實驗 中，扮演非線性現象物理機制的正是耗散性，耗散性的不斷加強，使系統達到遠離平衡態 ，產生規則的宏觀結構以至呈現混沌狀態；與此類似的如：Lorenz吸引子的機制是太陽光 加熱大氣，大氣在能量耗散過程中，為耗散性所驅動而產生混沌運動：再如：麵包師變換 中，無論是拉伸，還是折疊操作，實際上都是—種能量耗散過程。 從另一個角度說，對能量的耗散增強，使子系統相互作用程度增強、方式增多，也就使系 統可能有的穩態的數目越來越多，局域穩定性越來越小，直到極端的混沌狀態。在這—過 程中，對系統未來的發展軌跡將難以準確預測，即未來現實發展道路的可能性越來越多， 簡並程度越來越高，因而可預測性越來越弱。這意味著耗散性導致了系統宏觀運動時間反 演對稱性的破缺，也就是說當耗散加強時，原則上從系統現在的狀態無法精確預測其未來 的狀態，未來不包含於現在之中，它有“新質”產生。 c. 有限性 現實的、具體的自然都是有限的自然，有限性及其結果蘊含於一切事物之中，在相應 的方面規定著一切事物的性質。我們應該把有限性作為考慮一切事物的基本前提之—，作 為自然界的—個基本事實。 有限性在一定情況下必然導致非線性，它是非線性的另一個重要機制。抽象地說，有 限的事物相對於無限的事物而言喪失了許多對稱性，因而作用於其上的操作及結果都可能 對應著由有限性直接導致的非對稱性。具體地，如Robort May用以研究小生境的蟲口模型 Xn+1 = rXn(1-Xn／R)，其非線性項的存在，就是由於環境容量R的有限造成的，如果R無 限大，那麼此模型就自然成為線性的了；拉伸機制與有限性造成的壓縮機制的結合，才使 奇異吸引子呈現局部不穩定性和整體穩定性，產生特定的非線性形式——混沌；除此之外 ，各種相互作用速度的有限、時空域的有限、結構方式的有限等等都可成為導致非線性的 物理機制。 d. 多值性 動力系統中常會出現某些變量的一個值對應著其它變量多個值的情況，從物理上說， 就是相同的條件對應著多種可能的狀態，約束條件的弱化使系統狀態的簡並性強化，使可 能性非唯—化。多值性的存在，也就自然產生了多值解和對多種可能解的選擇，多值性越 強，系統就可能越複雜，相對於一定的多值性系統就會有相應的隨機性。多值性的存在實 際上是約束的有限造成的，對於有限約束所不能制約的方面，系統存在於它的一切可能性 之中。 多值性在動力學方程中必然表現為非線性，因為只有非線性關係才具有多值性，線性 關係不可能有多值性。例如：倍周期分叉過程，在分叉點一側出現非唯一穩定軌道，使系 統的演化軌跡出現隨機性、複雜性，—方面可以說這裡是非線性產生了多值性，另一方面 也可以說這裡的非線性物理機制正是系統的多值性。再如：哈密頓系統的三體問題，在考 慮小質量物體運動時，由於兩個大質量物體造成的引力勢場中，存在引力勢為0的面、點 等特殊空時區域(即兩個大質量物體的作用相互抵消的地方)，小質量物體在這些特殊區域 的可能軌道就有了多種選擇，即約束的弱化造成了系統可能狀態的多值化。這種多值性在 數學上就表現為非線性，它是複雜現象的重要根源之—。 (3) 非線性與穩定性的關係 穩定性問題是我們研究系統動力學性質的一個先驗角度，系統穩定的條件、機制、類 型，失穩的條件、機制、類型，及由穩定到不穩定，由不穩定到穩定的—般規律，對於我 們理解一般系統和具體系統的動力學行為都是極為重要的。而穩定性與非線性有著密切的 關係，簡言之，處於穩定的系統，必然存在非線性的李雅普諾夫函數(Lyapunov function) 所謂穩定性是用來刻劃系統在受到擾動後的行為的，“事物的存在方式或運動狀態， 不會因為擾動、起伏漲落而改變就謂之穩定。如果有一個或多個小的擾動，使系統的存在 方式或運動狀態發生了改變，而後，系統又能克服擾動自動地回到未受擾動前的狀態，這 種系統就是穩定的。”[8]其實，所謂穩定都是相對於—定的擾動而言的，系統的抗擾能 力可用穩定程度來標度，穩定程度是我們對系統的穩定性進行區分、刻劃的不可缺少的變 量。 穩定性有多種類型，我們這裡所說的是局域穩定性，即“相對於—定的擾動而言，系 統是穩定的”，它包含了兩個方面的意思，a.在我們考察的系統狀態附近存在Lyapunov函 數，b.環境擾動小於由Lyapunov函數的存在域確定的系統的穩定程度。 來源於Lyapunov第一穩定性定理：令 x = F(x)，x0是一定點，F(x0) = 0。假定存在 一個函數 L(x) 使 (i) L(x0) = 0，且在 x0 的某個鄰域內，如果 x ≠ x0，L(x) > 0， (ii) 在那個鄰域內 F．▽L < 0，那麼 x0 是穩定的。”滿足這兩個條件的函數 L(x) 叫嚴格的Lyapunov函數[9]。由(i)可見，x0 為 L(x) 的極小點，處於穩定狀態的系統， 可以找到其Lyapunov函數 L(x)，此 L(x) 在穩定點附近是凹形的，即 L(x) 不可能有 L(x) = ax + b 的線性形式，而只能是非線性的。由(ii)F．▽L < 0，其實就是 L = F． ▽L < 0 保證了 x(t) 沿 L 減小的路徑位移，對於足夠小的擾動，x(t) 將返回 x0， L(x) 的這種性質，反映了系統具有占優勢的維持穩定的機制，這種機制的存在保證了系 統對所有小於穩定程度的漲落的有效阻力。在保守系統中，L 多數情況下就是能量，一定 範圍的凹形 L(x)，就是具有一定深度的勢阱的勢函數，維持穩定的力則是與函數相應的 回復力。 總之，無論 x = F(x) 是線性的，還是非線性的，只要它是穩定的，那麼它就對應著 某個非線性的Lyapunov函數 L(x)。 如：超循環結構的穩定性來源於子系統間的功能耦合造成的非線性；耗散結構的穩定 性源於子系統間的協同相互作用，這種相互作用也是非線性的；倍周期分叉序列及混沌區 中的周期視窗，這些軌道的穩定也都是非線性機制產生的；奇異吸引子的整體穩定性是系 統的耗散性這一非線性機制的結果。可以說，穩態存在的地方，必然存在非線性。 不穩定在數學上對應著勢函數的極大區域，勢函數是凸的，其中包括函數的一階導數 等於0，二階導數小於0的極大值點；物理上，勢阱深度小於等於內外漲落的強度。顯然線 性關係不會造成這種不穩定性，不穩定機制是一種非線性機制。上文所談及的各種非線性 物理機制在一定情況下都將導致不穩定性。 造成混沌軌道指數發散的伸縮變換是—種非線性操作，它使系統敏感初條件、極不穩 定；在單峰映射中，無論在倍周期分叉點，還是在混沌區內周期視窗結束時，都是非線性 機制使原來的穩定的軌道失穩，而後才進入新的軌道。 在耗散結構理論中，系統演化過程中熱力學分枝的失穩、穩定的耗散結構的出現，其 機制是子系統間通過相互作用實現的協同運動，而這種相互作用正是非線性的一種重要物 理機制。 生物體在無外界物質、能量輸入時，它的耗散機制會使其失穩而滑向熱力學平衡態； 在保守系統中，隨機網的存在使系統在一定程度上呈現不穩定性。這些起不穩定作用的機 制都是我們已討論的非線性機制。 綜合以上兩個方面可見，非線性既是穩定的原因，也是不穩定的原因，在不同情況下 它扮演不同的角色。非線性同是穩定和不穩定的必要條件，而不是它們的充分條件，系統 穩定與否和非線性機制沒有對應關係，系統的穩定或不穩定在不同情況下對應於某些非線 性機制或某些非線性機制與其它因素的結合方式。例如：在混沌現象中，非線性機制產生 奇異吸引子相空間的局部不穩定性，整體耗散性或有限性等非線性機制造成奇異吸引子的 整體穩定性，兩者的結合才產生了具有特定分維的奇異吸引子；在孤立子現象中，非線性 項與色散項的巧妙平衡才使滿足 KdV 方程的孤立子呈現穩定性，成為純粹的擬序結構。 所以在考察非線性與穩定性問題時，要依據具體情況做具體分析。 --

※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 218.166.117.158 -- 白爛: 地球怎麼可能是圓的...我想...... 應該沒有人能想像出來吧??? -- 全國各大藏匿點 簽名/暱稱 統一中 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.102.37