※ [本文轉錄自 NTU-Exam 看板] 作者: matrixjimmy (Jimmy) 看板: NTU-Exam 標題: [試題] 95下 吳貴美 微積分甲下 期末考 時間: Mon Jun 18 18:26:49 2007 課程名稱︰微積分甲下 課程性質︰共同必修 課程教師︰吳貴美 開課學院：生農學院 開課系所︰ 考試日期（年月日）︰96/6/18 考試時限（分鐘）：150 是否需發放獎勵金：是，謝謝 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 1. (10分) 12x^2 *y - 3y^2 f(x,y) = ----------------- , (x,y)≠(0,0) x^2 + y = 0 , (x,y)＝(0,0) 求fy(x,0), 此處x≠0 ; 和fy(0,0) 2. (10分) f(x,y) = e^2y arctan( y/3x ), 問在點(1,3), f(x,y)沿哪個方向的變化率最大，其值是多少？ 又沿哪個方向，f(x,y)之值不變？ 3. (10分) 設xz + y㏑x - x^2 + 4 = 0，其中x為y,z的函數 求在點(1,-1,-3)的 dx/dz 和 d^2 x/dz^2 (ps: 兩者都是偏微分) 4. (10分) 用Lagrange Method 求 f(x,y,z) = x^2 yz + 1 的極大(小)值。 而要求點在 z = 1 和 x^2 + y^2 + z^2 =10 之上 5. (10分) 1 1 ye^(x^2) 求∫ ∫ ---------- dxdy 之值 (ps: 分子的部份是e的x平方次) 0 √y x^3 6. (10分) 求同時在 z = √(16 - x^2 - y^2) 和 x^2 + y^2 - 4x = 0 之內的區域的體積 7. (10分) ∞ ∞ 已知 ∫e^(-x^2) dx = √π， 求 ∫√x e^(-x) dx 之值 -∞ 0 8. (15分) 求∫∫x dA ; R: 在第一象限內，由 y=x, 4x-y^2=4, x軸 和 R 4x-y^2-16 所圍成之區域 (a) 用下列變數變換做： 設 x=r secθ， y=2r tanθ (b) 不用變數變換做 9. (10分) 求∫ (e^(-x^2 /2) - y) dx + (e^(-y^2 /2) + x) dy) C 此處C：在圓 x = 6cosθ , y = 6 sinθ 和橢圓 x = 3cosθ , y = 2sinθ 中間的區域 10.(15分) F(x,y) = x^2y i + xy^(3/2) j (i) 求 ∫ F‧dr ; C1: r1(t) = (t+1)i + t^2 j , 0≦t≦2 C1 (ii) 求 ∫ F‧dr ; C2: r2(t) = (1+2cost)i + 4(cost)^2 j , 0≦t≦π/2 C2 (iii) C1 與 C2之間有甚麼關係？ (各自消去t看看) 再說明∫ F‧dr 與 ∫ F‧dr 之間的關係 C1 C2 11.(10分) (a)甚麼叫做一個保守向量場 (Conservative vector field)? (b)設F(x,y,z) = e^(yz) i + ( xz*e^(yz) + z cosy) j + ( xy e^(yz) + siny) k (i) 証 F(x,y,z) 為一個保守向量場 (ii)設 A 為點(1,0,1)，B為點(1,π/2,0) B 求∫ F‧dr A --

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