課程名稱︰偏微分方程式一 課程性質︰數學系選修 課程教師︰夏俊雄 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰2016/12/01 考試時限（分鐘）：50 試題 : 1. (50 points) Suppose $f(x, t) \in C^2_1(\mathbb R^N \times (0, T])$ has a com- pact support in $\mathbb R^N \times (0, T]$. Show that the function \[u(x, t) := \int_0^t\int_{\mathbb R^N} \phi(x-y, t-s) f(y, s) dyds\] solves the nonhomogeneous heat equation \[u_t = \Delta u + f(x, t),\] where φ is the heat kernel. 2. (50 points) Consider the following one dimensional wave equation \[\begin{cases} u_{tt}-u_{xx} = 0, & (x, t) \in (0, 2) \times (0, 100),\\ u_t(x, 0) = x^3(x-2)^3, & x \in [0, 2],\\ u(x, 0) = x^5(x-2)^3, & x \in [0, 2],\\ u(0, t) = u(2, t) = 0, & t \in [0, 100]. \end{cases}\] Use the idea of extension to compute u(1/3, 1) and u(5/3, 2). 3. (20 points) What is the most exciting common property that the boundaries of one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional manifolds enjoy? (Don't think it in a mathematical way. Not even try to answer this question by English.) -- 第01話 似乎在課堂上聽過的樣子 第02話 那真是太令人絕望了 第03話 已經沒什麼好期望了 第04話 被當、21都是存在的 第05話 怎麼可能會all pass 第06話 這考卷絕對有問題啊 第07話 你能面對真正的分數嗎 第08話 我，真是個笨蛋 第09話 這樣成績，教授絕不會讓我過的 第10話 再也不依靠考古題 第11話 最後留下的補考 第12話 我最愛的學分 --

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