課程名稱︰實分析二 課程性質︰數學研究所必修課，應用數學研究所必選課 課程教師︰沈俊嚴 開課學院：理學院 開課系所︰數學研究所 考試日期︰2018年06月27日(三) 考試時限：10:20-12:10，110分鐘 試題 : 　　　　　　　　　REAL ANALYSIS II FINAL EXAM. 2018/06/27 Do the following problems and write your arguments as detail as possible 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 1. (15%) Let m be the usual Lebesgue measure on |R, and define 1 　　　　　　　　μ(E) = ∫ ----- dm(x), 　　　　　　　　　　　　 E　　 4 　　　　　　　　　　　　　　1+x for Lebesgue measurable set E. Show that m is absolutely continuous with respect to μ, and compute the Radon-Nikodym derivative dm/dμ. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 2. (15%) Let l be a bounded linear functional on L[-1,1] such that l(f) = 0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1 as long as f is an odd function in L[-1,1]. Show that there exists an even 1　　　　　　　　　　　　　 1 function g so that l(f) = ∫f(x)g(x)dx, for all f(x)∈L[-1,1]. -1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 3. (15%) Let m be the usual Lebesgue measure on |R. Now define two measures 　　m and m by m(E) = m(E∩[0,1]) and m(E) = χ(0). 1 2 1 2 E (1): Show that ∫fdm = f(0)m(E). E 2 2 (2): Is m or m absolutely continuous or singular with respect to m? 1 2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1 4. (15%) Let μ be a finite Borel measure on |R, and define f(x) =μ((-∞,x]). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　μ Show that f(x) is continuous from the right. μ 　　　　　　　　　n 5. (15%) If A⊂|R, define the Hausdorff dimension of A as follows: If H(A)=0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 α for all α>0, let dim A = 0; otherwise, let dim A = sup{α:H(A)=∞}. α (1) Show that H(A) = 0 if α > dim A and H(A) = ∞ if α < dim A. α α (2) Show that every countable set has Hausdorff dimension 0. 6. (15%) Let g(x) be periodic and equal to log(1/|2sin(x/2)|) in (-π,π), and let g(0) = 0. Compute explicitly its Fourier series a0 ∞ ---- + Σ ak cos(kx) + bk sin(kx). 2 k=1 In other words, compute explicitly the values of a0, ak, bk. 7. (10%) Let f(x) be periodic and integrable in (-π,π). Suppose f(x) is continuous at x0, show that the arithmetic means σn(x) of its Fourier series converge to f(x0) at x=x0. Hint: You may want to use the formula 1 π 2 sin[(n+1)t/2] 2 that σn(x) = ---- ∫ f(x+t)K(t)dt, where Kn(t) = ----- (-------------). π -π n n+1 2sin(t/2) --

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