課程名稱︰邏輯 課程性質︰通識A4 課程教師︰傅皓政 開課學院： 開課系所︰ 考試日期（年月日）︰2017/11/06 考試時限（分鐘）：90 試題 : 一、請建構命題邏輯語言（提示：包括符號與形構規則兩個部分）。(10%) 　　(Construct a suitable language for propositional logic. Hint: two parts 　　involved, alphabets and formation rules) 二、請判斷下列陳述的真假，並且分別以Ｔ與Ｆ代表「真」與「假」。(10%) 　　(Please judge the following statements which are true or false. Notice, 　　please use the symbols "T" and "F" which stand for true and false 　　statements respectively.) 　　＿ 1. 結論是矛盾句的論證可能是有效論證。 　　＿ 2. 前提出現矛盾句的論證一定是有效論證。 　　＿ 3. 前提與結論一致的論證可能是有效論證。 　　＿ 4. 前提實際上為假而且結論實際上為真的論證一定是有效論證。 　　＿ 5. 前提不可能全部為真的論證可能是無效論證。 　　＿ 6. 有效論證中至少必須有一個前提實際上為真。 　　＿ 7. 前提實際上為真而且結論實際上為假的論證可能是有效論證。 　　＿ 8. 前提與結論都是偶真句的論證可能是有效論證。 　　＿ 9. 前提與結論不一致的論證一定是有效論證。 　　＿ 10. 前提與結論實際上為假的論證一定是無效論證。 三、請判斷下列句式哪些是恆真句、矛盾句或者是偶真句。你可以使用任何學過的方法， 　　包括真值表法、簡易真值表法或真值樹法，必須列出演算過程。(15%) 　　(Using some method (e.g. truth table, short-cut or tableaux system) shows 　　that each of the following formulae is tautology, contradiction, or 　　indeterminate formula. Computational process is required.) 　　(a) D → ((C Λ D) → D) 　　(b) ┐(H → G) Λ ┐(G → H) 　　(c) (K → (L → M)) → ((K → L) Λ (K → M)) 四、請判斷下列各題中的兩個句式之間是蘊涵或是等值關係。如果是蘊涵關係，以φ╞ψ 　　表示；若為等值關係，則以╞φ←→ψ表示，必須列出演算過程。(15%) 　　(Using some methods determine the semantic relation between the following 　　formulae. If the entailment relation holds then show them of the form 　　φ╞ψ. On the other hand, show them of the form ╞φ←→ψ if they are 　　equivalent. Computational process is required.) 　　(a) M Ｖ (N → N) ; M Ｖ N 　　(b) (P Λ Q) Ｖ (Q Λ R) ; (┐P Λ ┐Q) Ｖ (┐Q Λ ┐R) 　　(c) ┐(┐A Λ ┐B) ; ┐B → A 五、請寫出等值於真值表中語句φ的ＤＮＦ及ＣＮＦ。(10%) 　　(Find out the DNF and CNF each which is equivalent to the following 　　formulae φ.) 　　(a)　　　　　　　　　　　　(b) 　　┌─┬─┬─┬─┐　　　　　┌─┬─┬─┬─┐ 　　│Ｌ│Ｍ│Ｎ│φ│　　　　　│Ｇ│Ｈ│Ｋ│φ│ 　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤ 　　│Ｔ│Ｔ│Ｔ│Ｔ│　　　　　│Ｔ│Ｔ│Ｔ│Ｔ│ 　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤ 　　│Ｔ│Ｔ│Ｆ│Ｆ│　　　　　│Ｔ│Ｔ│Ｆ│Ｔ│ 　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤ 　　│Ｔ│Ｆ│Ｔ│Ｔ│　　　　　│Ｔ│Ｆ│Ｔ│Ｆ│ 　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤ 　　│Ｔ│Ｆ│Ｆ│Ｆ│　　　　　│Ｔ│Ｆ│Ｆ│Ｔ│ 　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤ 　　│Ｆ│Ｔ│Ｔ│Ｆ│　　　　　│Ｆ│Ｔ│Ｔ│Ｆ│ 　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤ 　　│Ｆ│Ｔ│Ｆ│Ｔ│　　　　　│Ｆ│Ｔ│Ｆ│Ｆ│ 　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤ 　　│Ｆ│Ｆ│Ｔ│Ｔ│　　　　　│Ｆ│Ｆ│Ｔ│Ｔ│ 　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤ 　　│Ｆ│Ｆ│Ｆ│Ｆ│　　　　　│Ｆ│Ｆ│Ｆ│Ｔ│ 　　└─┴─┴─┴─┘　　　　　└─┴─┴─┴─┘ 六、請以真值樹法證明下列語法序列是否為有效論證，若為無效論證請顯示其反例結構。 　　(20%) 　　(Please use tableaux system to prove whether each of the following 　　argument is valid. And specify a counterexample if it is invalid.) 　　(a) (Q Ｖ ┐P) → ┐R ; (P Λ Q) → R ├ (Q Λ R) → ┐P 　　(b) K → L ; K Ｖ (L ←→ K) ├ ┐K 七、請完成下列演算，作答時須連同題目寫在答案卷上。（10%) 　　(Please complete the following proofs. Notice: you should copy the whole 　　questions on your answer sheet.) 　　(a) 證明　├ ┐A → (A → B) 　　　(1) (┐B → ┐A) → (A → B) _______________ 　　　(2) ((┐B → ┐A) → (A → B)) → 　　　 (┐A → ((┐B → ┐A) → (A → B))) _______________ 　　　(3) ┐A → ((┐B → ┐A) → (A → B)) _______________ 　　　(4) (┐A → ((┐B → ┐A) → (A → B))) → 　　　 ((┐A → (┐B → ┐A)) → (┐A → (A → B))) _______________ 　　　(5) (┐A → (┐B → ┐A)) → (┐A → (A → B)) _______________ 　　　(6) ┐A → (┐B → ┐A) _______________ 　　　(7) ┐A → (A → B) _______________ 　　(b) 證明　┐┐K ├ K 　　　(1) ┐┐K _______________ 　　　(2) ┐┐K → (┐┐┐┐K → ┐┐K) _______________ 　　　(3) ┐┐┐┐K → ┐┐K _______________ 　　　(4) (┐┐┐┐K → ┐┐K) → (┐K → ┐┐┐K) _______________ 　　　(5) ┐K → ┐┐┐K _______________ 　　　(6) (┐K → ┐┐┐K) → (┐┐K → K) _______________ 　　　(7) ┐┐K → K _______________ 　　　(8) K _______________ 八、古典邏輯的語意學有三個預設，其中的真值函映原則設定古典邏輯的運算符號都必須 　　是真值函映的運算符號，然而實際上有很多運算符號是非真值函映的運算符號，請舉 　　一個實例說明非真值函映的運算符號。(10%) 　　(There are three important postulates of the semantics of the classic 　　logic, one of them is the so-called the principle of truth-functionality. 　　Nonetheless we have many non-truth functional operators in our ordinary 　　language. Please take an non-truth functional operator to illustrate.) Appendix: Rules of inference 命題邏輯公理系統(propositional logic axiomatic system) 公理(axioms)： (A1) φ → (ψ → φ) (A2) (φ → (ψ → θ)) → ((φ → ψ) → (φ → θ)) (A3) (┐φ → ┐ψ) → (ψ → φ) 推論規則(rule of inference)： (MP) 從 φ 和(φ → ψ)成立，可以推論出 ψ 成立。 --

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