課程名稱︰實分析二 課程性質︰數學研究所必選修、應用數學科學研究所必選修、數學系選修 課程教師︰劉豐哲 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期︰2014年06月 考試時限：110分鐘 試題 : 　　　　　　　　　　　　　Real Anaylsis II Final Exam 　　　　　　　　-x^2　n 1. Let fn(x) = e　　 x , x ∈R, n = 0,1,2,…. 　(a) (10%) Show that <{fn}> is dense in L^2(R). 　(b) (10%) Show that the orthonormal system constructed from {fn} by 　　　Gram-Schmidt procedure is an orthonormal basis for L^2(R). 　　　　　　　　　　　　　　　k,p　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∞ 2. (a) (15%) Show that if f∈W　(Ω), then there is a sequence fj∈C(Ω) such 　　　　　　　　　　　k,p 　　　 that fj→f in W　(Ω_ε) as j→∞ for each ε > 0 where Ω_ε={x∈Ω: 　　　 dist(x,Ω^c) > ε}.　　k,p　　　　 k,q 　 (b) (10%) Show that if f∈W　(Ω), g∈W　(Ω), 1/p + 1/q = 1, p,q < ∞, 　　　　　　　　 k,1 　　　 then fg∈W　(Ω). 3. (20%) Suppose that f is an absolutely continuous function on [-π,π] such 　 that f(-π) = f(π) and f'∈L^2 [-π,π]. Show that Sn(f,x)→f(x) uniformly 　 for x∈[-π,π] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∞　 * 4. (15%) Show that there exists T∈(l (N)) such that liminf f(j) ≦ T(f) ≦ 　　　　　　　　　　　　　　∞　　　　　　　　　　　　j→∞　　 ∞ 　 limsup f(j) for each f∈l (N). (Hint: Frist define T on {f∈l (N):lim f(j) 　　j→∞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　j→∞ 　 exists }.) 5. (20%) Let (Ω,Σ,μ) be a σ-finte measure space, 1/p + 1/q = 1, and 　 1 < p < ∞. Suppose that f, fk∈L^p(Ω,Σ,μ) for k∈N. Show that 　 lim ∫(fk)g dμ = ∫fg dμ for all g∈L^q(Ω,Σ,μ) if and only if 　 k→∞ Ω　　　　　　Ω 　 sup ||fk||　< ∞ and lim ∫fk dμ = ∫f dμ for all E∈Σ with μ(E) < ∞. 　　k　　　　p　　　　　k→∞ E　　　　　E --

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