課程名稱︰偏微分方程式二 課程性質︰數學研究所基礎課 課程教師︰林太家 開課學院：理學院 開課系所︰數學系、數學研究所、應用數學科學研究所 考試日期︰2015年06月02日(二)，10:20-12:10 考試時限：110分鐘 試題 : 　　　　　　　　　　　　　　Test 3　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/02/2015 1. 20% 　Assume U is connected. Use (a) energy methods and (b) the meaximum principle 　to show that the only smooth solution of the Neumann boundary-value problem 　　　　　　　　　　　　　　　/ -Δu = 0 in U 　　　　　　　　　　　　　　　\ ∂u/∂n = 0 on ∂U 　are u≡constant. 2. 20%　　　　　　 1 　(20 pts) Let u∈H(B1) be a single-valued function, where B1 is the unit ball 　　　2 　　　　　 0 　in R with center at origin. Which of the following statements is (are) true? 　(A) There exists a positive constant C independent of u such that 　　　　　　　　　　　　　　　　 2　　　　　　　2 　　　　　　　　　　　　　　　∫u dx ≦ C ∫(u_r)dx. 　　　　　　　　　　　　　　　B1　　　　 B1 　(B) No such a constant C exists. 　Here (r,θ) is the polar corrdinate and u_r is the associated partial 　derivative. Find and justify your answer. 3. 20% 　Let 　　　　　　　　　　　　　　　　 n　 ij 　　　　　　　　　　　　　Lu = -Σ (a u_xi)_xj + cu. 　　　　　　　　　　　　　　　 i,j=1 　Prove that there exists a constant μ > 0 such that the corresponding 　bilinear form B[,] satisfies the hypotheses of the Lax-Milgram Theorem, 　provided 　　　　　　　　　　　　　c(x) ≧ -μ　(x∈U). 4. 20%　　1　n 　Let u∈H (R ) have compact support and be a weak solution of the semilinear 　PDE　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 n 　　　　　 2 n　　　　　　　-Δu + c(u) = f in R , 　where f∈L(R ) and c:R→R is smooth, with c(0) = 0 and c'≧0. 　　　　　　2　n 　Prove u∈H (R ). 5. 20%　　　 1 　Assume u∈H (U) is abounded weak solution of 　　　　　　　　　　　　 n　 ij 　　　　　　　　　　　　-Σ (a u_xi)_xj = 0 in U. 　　　　　　　　　　　　i,j=1 　Let ψ:R→R be convex and smooth, and set w = ψ(u). Show w is a weak 　subsolution; that is, 　　　　　　　1　　　　　　　　　B[w,v] ≦ 0 　for all v∈H (U), v≧0. 　　　　　　　0 --

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