課程名稱︰實分析一 課程性質︰數學研究所必選修、應用數學科學研究所必選修、數學系選修 課程教師︰劉豐哲 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期︰2014年01月 考試時限：110分鐘 試題 : 　　　　　　　　　　　　　　Real Analysis I (Fall 2013) 　　　　　　　　　　　　　　　　Final Examination 1. (20%) A family {f_α} of integrable function on a measure space (Ω,Σ,μ) 　 is called uniformly integrable if for any ε > 0, there is δ > 0 such that 　 if A is contained by Σ with μ(A) ≦ δ, then ∫|f_α|dμ≦ε for all α. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A 　 Show that if {f_n} is uniformly integrable sequence of functions on Ω which 　 converges a.e. to an integrable function f on Ω, then 　　　　　　　　　　　　　　　lim ∫|f_n - f|dμ = 0. 　　　　　　　　　　　　　　 n->∞ 　　　　　　　　　　　　　　　 n 2. Let ω≧0 be integrable on R and let μ be a premeasure defined for open 　 sets G in R^n by　　　　　　　　　　　　　　n 　　　　　　　　　　　　　　　　μ(G) = ∫ωdλ 　　　　　　　　　　　　　　　　 n　　　 G 　 Denote by μ* the measure on R constructed from μ by Method I. 　 (a) (6%) Show that μ*(S) = inf μ(G) where infimum is taken over all open 　　　 sets G containing S. 　 (b) (7%) Show that μ* is a Caratheodory measure and 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n 　　　　　　　　　　　　　　　μ*(B) = ∫ωdλ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B 　　　 for Borel sets B.　　　　　　　　　　μ* 　　　　　　　　　　n 　 (c) (7%) Show that L^n is contained by Σ and μ*(A) = ∫ωdλ if A 　　　　　　　　　 n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A 　　　 belongs to L . 3. (20%) Define a function f on (0,∞) by 　　　　　　　　　　　　　　　　　∞ e^(-xt^2) 　　　　　　　　　　　　　f(x) = ∫ -----------dt, x belongs to (0,∞). 　　　　　　　　　　　　　　　　　0　 1 + t^2 　 Show that f is continuously differentiable on (0,∞) and is a solution of 　　　　　　　　　　　　 √π　　1 　 the equation y' - y + ----- ------ = 0 on (0,∞). 　　　　　　　　　　　　　 2　　√x 4. (a) (5%) A function f on [a,b] is called Lipschitz if there is L > 0 such 　　　 that |f(x) - f(y)|≦L|x-y| for all x,y in [a,b]. Show that a Lipschitiz 　　　 function is AC. 　 (b) (15%) Let f be a continuous BV function on [a,b]. Show that f is AC if 　　　 and only if there exists a sequence {f_n} of Lipschitz functions such 　　　　　　　　 b 　　　 that lim V (f - f_n) = 0. 　　　　　 n->∞ a 5. (a) (10%) Let f be an integrable function on [a,b] with the property that 　　　　　　　　　　　　　　　　 b 　　　　　　　　　　　　　　　　∫fg'dλ = 0. 　　　　　　　　　　　　　　　　 a 　　　 for all AC functions g such that g(a) = g(b) = 0. Show that f = constant 　　　 a.e. 　 (b) (10%) Let f and g be integrable functions on [a,b] and suppose that 　　　　　　　　　　　　　　 b　　　　　 b 　　　　　　　　　　　　　　∫fh'dλ = -∫ghdλ 　　　　　　　　　　　　　　 a　　　　　 a 　　　 for all AC functions h with h(a) = h(b) = 0. Show that f is equivalent 　　　　　　　　　　　　 ^　　 ^ 　　　 to an AC function f and f' = g a.e. --

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