課程名稱︰偏微分方程式一 課程性質︰數學研究所基礎課 課程教師︰林太家 開課學院：理學院 開課系所︰數學系、數學研究所、應用數學科學研究所 考試日期︰2014年12月30日(二)，10:20-12:10 考試時限：110分鐘 試題 : 　　　　　　　　　　　　　　　　　Test 3　　　　　　　　　　　　　　12/30/2014 1. (20%) 　Let u solve 　　　　　　　　　　　　　　　u_tt - △u = 0 in R^3 ×(0,∞) 　　　　　　　　　　　　　　　u = g, u_t =h　on R^3 ×{t=0}, 　where g,h are smooth and have compact support. Show there exists a constant C 　such that 　　　　　　　　　　　　　　　|u(x,t)|≦C/t　(x∈R^3, t＞0) 2. (20%) 　Solve　　　　　　　　　　　　　　　 2　　　　2 　　　　　　　　　　　　　　　u_tt - c u_xx = x　for 0＜t and all x 　　　　　　　　　　　　　　　u = x, u_t = 0 for t = 0. 3. (20%)　　　　　　　　　　　　　　 2 　(Equipartition of energy). Let u∈C(R ×[0,∞)) solve the initial-value 　problem for the wave equation in one dimension: 　　　　　　　　　　　　　　　u_tt - u_xx = 0 in R ×(0,∞) 　　　　　　　　　　　　　　　u = g, u_t = h on R ×{t=0}. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1 ∞ 　Suppose g,h have compact support. The kinetic energy is k(t):= ---∫(u_t)^2dx 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 ∞　　　　　　　　　　　2 -∞ 　and the potential energy is p(t) := ---∫ (u_x)^2dx. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 -∞ 　Prove 　(i)　k(t)+p(t) is constant in t, 　(ii) k(t) = p(t) for all large enough times t. 4. (20%) 　Prove the uniqueness of the following problem: 　u_xx - u_t = f(x,t) for 0<x<a, 0<t<T 　　u(x,0) = g1(x) for 0<x<a, 　u_x(0,t) = g2(t) for 0≦t≦T, 　u_x(a,t) = g3(t) for 0≦t≦T, 　where g1, g2 and g3 prescribed functions.(意思就是smooth function) 5. (20%)　∞ n　　　　　　　　　　　　　　　 2 　Let f∈C (R ) be a smooth function and u∈C(Ω) be a solution of 　　　　　　　　　　　　　　　　△u = f in Ω, 　　　　　　　　　　　　　　 ∂ 　　　　　　　　　　　　u + -----u = 0 on ∂Ω, 　　　　　　　　　　　　　　 ∂n　　　　　　　　　　　 n　 n 　2 　where △ is the standard Laplacian, Ω={(x1,...,xn)∈R : Σ xi < 1, xn > 0} 　　　 ∂ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 i=1 　and ----- is the normal derivative on the boundary ∂Ω. Prove that 　　　 ∂n 　　　　　　　　　　　　　　　lim |▽u(x)| ≦ C, 　　　　　　　　　　　　　　 x→0 　　　　　　　　　　　　　　　x∈Ω 　where C is a positive constant. --

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