課程名稱︰偏微分方程式一 課程性質︰研究所基礎課 課程教師︰林太家 開課學院：理學院 開課系所︰數學系、數學研究所、應用數學科學研究所 考試日期︰2014年10月14日(二)，10:20-12:10 考試時限：110分鐘 是否需發放獎勵金：是 試題 : Test 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10/14/2014 1. (20%) Φ(x) = -log|x|/(2π) for x∈R^2, x≠0. Prove that 　　-△u = f in R^2, 　 where f ∈C(∞,0)(R^2) and u(x) = ∫ Φ(x-y)f(y)dy　for x ∈R^2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 R^2 　　　　　　 _　　　　　1 2. (20%) Let u(r) = ----------　　∫ u(x)dS_x　for r > 0 　　　　　　　　　　 r^(n-1)　　∂B(0,r) 　　and u ∈C^2(R^n). Prove that 　　　_　 ___ 　　△u = △u for r > 0. 　　　　　　　_ 　　Note that u is radially symmetric in R^n 　　but u may NOT be radially symmetric in R^n. 3. (20%) 　　Prove that Laplace's equation △u = 0 is rotation invariant; that is, if 　　O is an orhogonal n ×n matrix and we define 　　　　　　　　　　　　　　v(x) := u(Ox)　(x∈R^n), 　　then △v = 0. 4. (20%) 　　Let U^+ denote the open half-ball {x∈R^n | |x|<1, x_n > 0}. 　　　　　　　　_ 　　Assume u∈C(U^+) is harmonic in U+, with u = 0 on ∂U^+ ∩{x_n = 0}. 　　Set 　　　　　　　　　　v(x) := u(x)　　　　　　　　　　if xn≧0 　　　　　　　　　　　　　　-u(x1,...,x_(n-1),-x_n)　if xn＜0 　　for x∈U=B^o(0,1). Prove v is harmonic in U. 5. (20%) 　　　　　　　　　_ 　　We say v∈C^2(U) is subharmonic if 　　　　　　　　　　　　　　　　　-△v≦0　in U. 　　(a) Prove for subharmonic v that 　　　　　　　　　　　　　　　　1 　　　　　　　　　　v(x) ≦ ---------- 　∫vdy　　　for all B(x,r)⊂U. 　　　　　　　　　　　　　　 |B(x,r)|　B(x,r) 　　(b) Prove that therefore max v = max v. 　　　　　　　　　　　　　　　U　　　∂U --

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