課程名稱︰管理數學 課程性質︰必修 課程教師︰黃以達 開課學院：管理學院 開課系所︰財務金融學系 考試日期（年月日）︰(Take home) due to 102.01.05 考試時限（分鐘）：X 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 一、10% (SVD分解與擬反矩陣) ┌1 0┐ 已知兩矩陣A與B，分別描述如下： A=┌1 2 0┐ B=│2 0│ └0 1 1┘ │0 6│ └1 0┘ (1)5% 請對A作SVD分解。 (2)5% 請求出B的pseudo inverse。 二、10% (觀念整合測驗) 請判斷下列命題的真偽，若真請給予證明，若偽請說明原因或舉反例。 (1)5% 若A與B皆為n階的正定矩陣，則(A+B)^-1必定存在。 3 → (2)5% 已知Ax=b為無限多解，其中b∈R 但b≠0 ，則A不存在 left inverse。 三、10% (投影矩陣的充分必要條件) 設矩陣滿足P^T=P，及P^2=P，請證明存在一矩陣A，使得 P=A(A^(T)A)^(-1)A^T 四、20% (二元常態分配實戰演練) ~ 已知 X=(X,Y)^T 為一隨機向量且服從二元常態分配如下： 1 f~(x,y)=-------- e^(-0.5(3x^2 - 2xy + y^2)) X √(2π) ~ (1)5% 請求出此二元常態分配的期望值向量μ與共變異數矩陣Σ。 (2)5% 請將此共變異數矩陣作喬列斯基分解，即Σ=LL^T。 ~ (3)5% 設Z=(Z1,Z2)^T為一服從標準二元常態分配之隨機向量，請證明： ~ ~ ~ LZ+ μ～N2(μ,Σ) (4)5% 利用上一小題的結論，求下列條件期望值與條件變異數的大小。 (i)2% E(X│Y=1)=? (ii)3% Var(X│Y=2)=? 五、20% (線性迴歸模型之簡易分析I) 已知一含截距項之線性迴歸模型如右： Y = X β + ε 。 n*1 n*(p+1) (p+1)*1 n*1 其中 X 為常數資料矩陣，並只考慮行向量線性獨立的狀況。而β 為關心 n*(p+1) (p+1)*1 iid ︿ 的參數向量，並假設誤差向量為ε ～ N(0,σ^2) 。設β之最小平方估計式β ，並 n*1 LSE ︿ ︿ ︿ 加以定義Y = X β 以及殘差向量e=Y - Y ，試回答下列問題： ︿ (1)6% 請求出隨機向量Y的機率分配以及e的機率分配。 ︿ ︿ (2)6% 請證明 Y 與 e 統計獨立，並圖示這三個向量 Y、Y、e的幾何關係。 (3)8% 請說明 1/σ^2 * e^Te 為何是一個合理的關鍵式？其機率分配為何？ 六、30% (線性迴歸模型之簡易分析II) 承上題，我們進而將殘差平方和定義為SSE，而將SSE除以n-(p+1)則定義為MSE，試回答 下列問題： (1)4% 請證明MSE可為一個未知參數σ^2之不偏估計式。 (2)4% 請證明MSE可為一個未知參數σ^2之一致估計式。 (3)4% 請證明(X^(T)X)^0.5必定存在。 ︿ (4)6% 請推導(X^(T)X)^0.5(β-β)的機率分配為何？ (5)6% 請利用上式，說明為何下式為一合理的關鍵式？並推導其機率分配。 ︿ ︿ (β-β)^T(X^(T)X)(β-β)/ σ^2 N ─ N ︿ N ︿ ─ (6)6% 請證明Σ(Yi-Y)^2=Σ(Yi-Yi)^2+Σ(Yi- Y)^2 i=1 i=1 i=1 備註：上式為迴歸模型中的變異數分析，即總變異=殘差變異+迴歸變異 SST = SSE + SSR --

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