課程名稱︰管理數學 課程性質︰必修 課程教師︰黃以達 開課學院：管理學院 開課系所︰財務金融學系 考試日期（年月日）︰101.11.16 考試時限（分鐘）：50 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : Part A (60%) (Linear Algebra) 一、18% Find the determinants of the matrices as followings. ┌1┐ │3│ (1) A=│5│[2 1 3 8 4] │7│ └9┘ ┌4 4 4 4┐ (2) B=│1 2 0 1│ │2 0 1 2│ └1 1 0 2┘ (3) C=┌3 0 0 0 2┐ │9 1 2 0 7│ │5 4 1 3 0│ │8 3 0 0 5│ └4 0 0 0 7┘ 二、10% (1)5% For any invertible matrix A, the (1,1) entry of A^-1 is equal to the ratio ____. (2)5% ┌4 4 4 4┐ Let B =│1 2 0 1│, find the (1,1) entry of A^-1. │2 0 1 2│ └1 1 0 2┘ 三、6% Find the area of the Pentagon (五邊形) formed by the corner points (-3,-6),(-1,3),(-1,7),(5,5),(5,9) 四、16% 設A、B為兩N階方陣，請證明下列命題 (1)8% ∣AB│=│A││B│ (2)8% │A│=│A^T│ 五、10% 3 設v1、v2、v3為R 空間中的三向量，分別為 v1=(a1,b1,c1), v2=(a2,b2,c2), v3=(a3,b3,c3)。定義兩運算(外積*)與(內積●)如下: v1*v2=(│b1 c1│,│c1 a1│,│a1 b1│) │b2 c2│ │c2 a2│,│a2 b2│ v1●v2=a1b1+a2b2+a3b3 請證明v1、v2、v3所張之平行六面體體積等於:abc((v1*v2)●v3) Part B (70%) (Probability Theory) 六、10% 今有一隨機變數X之機率密度函數定義如下所示，其中已知μ為一常數。 f(x)=0.5e^-│x-μ│, x∈R (1)5% 請檢驗此函數可以成為一合理定義的機率密度函數 (2)3% 請畫出μ=1的機率密度函數圖形。 (3)2% 此分配名稱是紀念哪位數學家？ 七、10% (1)5% 請默寫出標準常態分配的函數形式。 (2)5% 今定義標準常態分配其所對應的以下累加機率分配為Φ(x)，即 x Φ(x)=∫ f(t)dt -∞ 請證明Φ(-x)=1-Φ(x) 八、25% 請利用變數變換法或CDF法，求出下面所列出的新隨機變數的機率函數。 (1)5% 設X~U(0.1)，令Y=lnX，請求出Y的機率密度函數。 (U(0.1)為均勻分配，其機率密度函數為f(x)=1) (2)10% 設X~N(μ,σ^2)，令Y=e^X，請求Y的機率密度函數。 (3)10% 設X~N(0,1)，令Y=X^2，請求出Y的機率密度函數。 九、25% 我們定義下面這個瑕積分的值稱之為伽瑪函數。 ∞ γ(α)=∫ x^(α-1)e^(-x)dx 0 (1)15% 請證明γ(0.5)√π (Hint:先作替代積分法、再作極座標變換、再作替代積分法。) ∞ (2)10% 請計算∫ x^(5)e^(-2x)dx (此小題可直接寫出答案，不必過程。) 0 --

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