課程名稱︰高等微積分二 課程性質︰數學系必修 課程教師︰陳金次 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰2014.06.17 考試時限（分鐘）：170 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 注意事項：以下九題全做，每題12分。作答時請分成四份，1-2題寫在A卷、3-4題寫在B卷 、5-6題寫在C卷、7-9題寫在D卷。 1. v=(x^2-yz , y^2-xz , -2(x+y)z)，試驗證 div v = 0，並造一向量場 F = (P,Q,R) 使 curl F = v。 2. f_n(x) = sin(nx)， 0 ≦ x ≦ π，問：f_n 是否有逐點收斂子序列？ 3. f_n(x)=nx(1-x)^n，問：{f_n} 在 [0 ,1]上是否均勻收斂？ b 4. f_n 屬於 C^1[a , b]，存在 M 使 |f_n(a)| + ∫(f'_n)^2(x)dx < M ∀n。試證： a {f_n}有均勻收斂子序列。 ∞ 5. 令 (x) 表示 x 的小數部分，定義 f(x) = Σ(nx)/n^2，x 屬於 R n=1 找出f的不連續點，證明這些點在實數中可數稠密，但f在任意閉區間上 Riemann可積 ∞ 6. ψ(x) = -∫ (e^(-xt))*(sint)/t dt , x ≧ 0 0 ∞ (a) 試證：ψ'(x) = ∫(e^(-xt))*sint dt 0 (b) lim ψ(x) = ψ(0) x→0+ ∞ ∞ 7. f(x,t) = (cosxt)/t^2+1，問 d/dx∫ f(x,t)dt = ∫f_x(x,t)dt成立否？ 0 0 8. x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1，點(0, 0, 1) 滿足此方程式，問： (a) 在此點附近，z 是否可表成 z = z(x,y) 的函數形式？ x 是否可表成 x = x(y,z) 的函數形式？ (b) 如可，其可微性如何？ 9. 試造一保積寫像把單位球映成正立方體。 --

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