課程名稱︰高等微積分一 課程性質︰數學系必修 課程教師︰陳金次 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰2013.10.26 考試時限（分鐘）：170分鐘 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : 注意事項：作答時將答案卷分成四份，1、2題寫在A卷、3、4題寫在B卷、5~7題寫在C卷、 8~10題寫在D卷，如發生答案寫在不同答案卷上者，將不予計分。 (例：如將第三題寫在C卷上，則第三題為零分) 1.(12分) 請指出下列證明錯誤的所在 (a)ψ不包含於S，S為給定集合，ψ為空集合。 證：設x∈ψ，則x不屬於S。ψ空無一物，x∈ψ非真，因此，上述命題成立，故ψ不 屬於S。 (b)求：√(2+√(2+√(2+√......))) 證：令 x = √(2+√(2+√(2+√......)))，則 x^2 = 2 + x => (x+1)(x-2) = 0， 而 x > 2 ，故 x = 2。 (c)任一三角形皆等腰。 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ 證：設ΔABC如圖，作A分角線AP及BC中垂線MP，交於P點。過P點分別作PD垂直AB ＿ ＿ 、PE垂直AC，顯然 ＿ ＿ (1)ΔAPD 與 ΔAPE 全等 ∴AD = AE ＿ ＿ (2)ΔPDB 與 ΔPEC 全等 ∴BD = CE ＿ ＿　 ＿ ＿ ＿ ＿ => AB = AD + BD = AE + EC = AC。 （圖就請各位自行畫了QQ） 2.(12分) ξ > 0 、 η > 0 為實數。於ξ、η所屬的class中分別任取一有理增數列 ξ～Ｘ={x1, x2, x3, ...}、xi > 0 ，η～Ｙ={y1, y2, y3, ...}、yi > 0。 令Ｘ‧Ｙ={x1y1, x2y2, x3y3, ...}。定義ξ‧η為Ｘ‧Ｙ所屬class相應之實數， 試證：此乘法定義是well - defined 。 3.(10分) 試述二維的 Bolzano-Weierstrass定理，並證明之。 4.(10分) 試證：一切代數數可數。 5.(10分) 令an = √(2√(3√(4√......√n)))，問lim(n→∞) a_n 存在否？ 6.(10分) f為定義於[a,b]上的函數，若對任意數列{x_n}⊂[a,b]，x_i ≠ x_j當i≠j， Σf(x_n)恆收斂(n=1 to ∞)，試證：集合S={x|x∈[a,b]，f(x)≠0}頂多countable 7.(10分) C[0,1]表一切定義在[0,1]上的連續函數集，試證：#C[0,1] = #[0,1] 8.(12分) 試造一映射寫像(1-1 and onto mapping) 把 (0,1] x (0,1] 映成 (0,1] 9.(12分) f在[a,b]上連續，若任意x∈[a,b]都是f的極小點。試證：f為常函數。 10.(10分) 試用ε - δ論述證明lim(x->1) x / √(x^2 + x + 2) = 1/2。 --

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